Читать онлайн «Задачи всесоюзных математических олимпиад. ч.2»

ВЫПУСК Библиотечк КВАНТ t ~ ЗАДАЧИ : СЕСОЮЗНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ к I ШИМПИАД (" библиотека Приложение к журналу КВАНТ* «Квант*» № 1/2011 ВЫПУСК ш Н. Б. Васильев, А. А. Егоров ЗАДАЧИ ВСЕСОЮЗНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАД Часть 2 Москва 2011 УДК 373. 167. 1:51+51(075. 3) Серия «Библиотечка «Квант» ББК 22. 1я721 основана в 1980 году В19 Редакционная коллегия: Б. М. Болотовский, А. А. Варламов, Г. С. Голицын, Ю. В. Гуляев, М. И. Каганов, С. С. Кротов, С. П. Новиков, В. В. Произволов, Н. Х. Розов, А. Л. Стасенко, В. Г. Сурдин, В. М. Тихомиров, А. Р. Хохлов, А. И. Чер- ноуцан Васильев Н. Б. , Егоров А. А. В19 Задачи всесоюзных математических олимпиад. Часть2. - М. : МЦНМО, 2011. - 128 с. (Библиотечка «Квант+». Вып. 119. Приложение к журналу «Квант*» №1/2011. ) ISBN 978-5-94057-816-1 Сборник содержит более 200 задач, предлагавшихся на заключительных турах математических олимпиад СССР. Задачи размещены в хронологическом порядке и снабжены решениями. Многие из них являются своебразными математическими исследованиями, позволяющими читателям ознакомиться с идеями и методами современной математики. Книга предназначена для школьников старших классов, учителей математики и руководителей математических кружков. ББК 22. 1я721 ISBN 978-5-94057-816-1 УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 10-я Всесоюзная олимпиада, 1976 г. (Душанбе) Класс 8 9 10 Задачи 1-й день 220 2226 223 221 222а,6 223 224 223 225 226 227 228 225 2-й день 229 230 233 230 231 232 231 234 231 220. На столе лежат 50 правильно идущих часов. Докажите, что в некоторый момент сумма расстояний от центра стола до концов минутных стрелок окажется больше суммы расстояний от центра стола до центров часов. 221. В строчку подряд написано 1000 чисел. Под ней пишется вторая строчка чисел по следующему правилу: под каждым числом а первой строчки выписывается натуральное число, указывающее, сколько раз а встречается в первой строчке. Из второй строчки таким же образом получается третья: под каждым числом Ъ второй строчки выписывается натуральное число, указывающее, сколько раз Ь встречается во второй строчке. Затем из третьей строчки так же строится четвертая, из четвертой - пятая и так далее. а) Докажите, что некоторая строчка совпадает со следующей. б) Более того, докажите, что 11-я строчка совпадает с 12-й. в) Приведите пример такой первоначальной строчки, для которой 10-я строчка не совпадает с 11-й. 222. На плоскости даны три окружности одинакового радиуса. а) Докажите, что если все они пересекаются в одной точке, как показано на рисунке 1 ,fl, то сумма отмеченных дуг АК, СК, ЕК равна 180°. б) Докажите, что если они расположены Рис 1 3 так, как показано на рисунке 1,6, то сумма отмеченных дуг АВ, CD, EF равна 180°. 223. Натуральные числа хх, х2 меньше 10000. Исходя из них строится последовательность хх , х2 , х$ , ... , х„ , где число х3 равно |xj - х2| ι число хА равно наименьшему из чисел \хх - х2\, |*2 ~ хз| > |xf ~ хз\ · число х5 равно наименьшему из чисел \х{ - х2\ , |х] - х3\, |λ:ι - хА\, \х2 - *3|. |*2 ~ *Л» |*з ~ ха\ и так далее (каждое следующее число равно наименьшей из абсолютных величин разностей между предыдущими числами).