Читать онлайн «Исчисление внешних дифференциальных форм. Сборник задач»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ С. К. Водопьянов, Д. В. Исангулова ИСЧИСЛЕНИЕ ВНЕШНИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ. СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ Учебное пособие Новосибирск 2012  УДК 517. 1+517. 2 Водопьянов С. К. , Исангулова Д. В. Исчисление внешних диф- ференциальных форм: Сборник задач и упражнений / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2012. 144 с. В настоящем учебном пособии собраны основные теоретические по- ложения и задачи по исчислению внешних дифференциальных форм. Эта тема соответствует программе 4-го семестра курса математического анализа, читаемого на механико-математическом факультете НГУ. Учебное пособие предназначается для студентов и преподавателей математических и физических факультетов университетов, а также для всех интересующихся математическим анализом. Рецензенты д-р физ. -мат. наук М. Ю. Васильчик (НГТУ) д-р физ. -мат. наук, проф. А. Е. Гутман (ИМ СО РАН), Учебное пособие подготовлено в рамках реализации Программы развития НИУ-НГУ Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно- педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракт № 02. 740. 11. 0457) c Новосибирский государственный университет, 2012 c С. К. Водопьянов, Д. В. Исангулова, 2012 Содержание 1 Внешние дифференциальные 1-формы 7 1. 1 Внешние 1-формы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. 2 Определение внешних дифференциальных 1-форм. . 8 1. 3 Координатное представление 1-форм. . . . . . . . . . 8 1. 4 Операция переноса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1. 5 Интегрирование 1-форм вдоль путей. . . . . . . . . . 13 1. 6 Интегрирование 1-форм вдоль кривых. . . . . . . . . 27 1. 7 Формула Грина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Внешние дифференциальные 2-формы 41 2. 1 Определение внешних дифференциальных 2-форм. . 41 2. 2 Координатное представление 2-форм. . . . . . . . . . 41 2. 3 Операция переноса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2. 4 Ориентация поверхности в R3 . . . . . . . . . . . . . . . 41 2. 5 Интегрирование 2-форм по поверхностям. . . . . . . 41 2. 6 Формула Стокса для 1-форм в R3 . . . . . . . . . . . . 45 2. 7 Формула Остроградского для 2-форм в R3 . . . . . . 49 3 Полилинейные функции 57 3. 1 Сопряженные пространства . . . . . . . . . . . . . . . 57 3. 2 Полилинейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . 58 3. 3 Ориентация в Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4 Внешние формы 65 4. 1 Внешние 2-формы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4. 2 Внешние k-формы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4. 3 Внешнее произведение двух 1-форм. . . . . . . . . . . 69 4. 4 Внешние одночлены. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4. 5 Внешнее произведение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4. 6 Поведение при отображениях. . . . . . . . . . . . . . . 76 5 Дифференцируемые многообразия 76 5. 1 Определения многообразий в Rn . . . . . . . . . . . . . 76 5. 2 Ориентация на многообразии. . . . . . . . . . . . . . . 85 6 Внешние дифференциальные k-формы 91 6. 1 Определение, примеры и основные свойства. . . . . 91 6. 2 Внешнее дифференцирование дифференциальных форм и его свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3  6. 3 Перенос внешних дифференциальных k-форм. . . . . 96 7 Интегрирование дифференциальных форм по цепям 100 7. 1 Интегрирование n-форм в Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 100 7. 2 Интегрирование n-форм по цепям.