Читать онлайн «R-множества»

АКАДЕМИЯ НАУК СОЮЗА СОВЕТСКИХ СОЦИАЛИСТИЧЕСКИХ РЕСПУБЛИК ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени В. А. СТЕКЛОВА XL А. А. ЛЯПУНОВ R-МНОЖЕСТВА ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР МОС KB А — 195 3 Ответственный редактор академик И. Г. Петровский Зам. отв. редактора профессор С. М. Никольский ВВЕДЕНИЕ В дескриптивной теории множеств рассматривается зависимость между внутренним строением множеств и операциями, при помощи которых они построены, отправляясь от множеств более простой природы. Одним из основных вопросов этого направления является вопрос о том, в каких случаях, исходя из способа построения некоторого множества, можно установить его измеримость. При этом необходимо отличать случай, когда измеримость множества обусловлена его расположением в пространстве (например, случай подмножеств множества меры нуль, когда измеримость обусловлена не дескриптивными причинами), от случая, когда измеримость обусловлена специфическим внутренним строением множества. Только второй случай является предметом изучения дескриптивной теории множеств. Возникновение дескриптивной теории множеств относится к первому десятилетию XX в. , когда в работах Бореля, Бэра и Лебега была построена теория В-множеств. В то же время была выяснена та исключительная роль, которую В-множества играют в теоретико-функциональных вопросах математического анализа. Лебегом был построен и первый пример не В-множества. В дальнейшем, по инициативе Н. Н. Лузина, интенсивная работа в области дескриптивной теории множеств развивалась в Москве. П. С. Александровым была открыта Л-операция и при ее помощи решен вопрос о мощности В-множеств. М. Я. Суслин, пользуясь Л-операцией, построил класс Л-множеств, более широкий, чем класс В-множеств. Л-множества были детально изучены Н. Н. Лузиным и М. Я. Су- слиным. Оказалось, что и эти множества тоже играют существенную роль в некоторых вопросах анализа. Особенно важно, что Л-множе- ства Являются проекциями В-множеств и что они измеримы и имеют свойство Бэра. Н. Н. Лузин и П. С. Новиков создали весьма мощный annapaf трансфинитных индексов, позволивший глубоко проникнуть в природу А-множеств. 4 Введение Повторное применение Л-операции и операции взятия дополнения, исходя из 5-множеств, ведет к образованию класса С-множеств, который был изучен Е. А. Селивановским. С-множества также измеримы и обладают свойством Бэра. Стремясь к тому, чтобы по возможности полно очертить круг тех множеств, которые могут появиться в математическом анализе без помощи аксиомы Цермело, Н. Н. Лузин построил класс проективных множеств. Природа проективных множеств в корне отличается от природы ранее изученных множеств. В частности, многочисленные попытки решения вопроса об их измеримости не увенчались успехом. Н. Н. Лузин заподозрил, что для выяснения природы тех трудностей, которые возникают в теории проективных множеств, недостаточно средств канторовской теории множеств и что эта область должна явиться преддверием для проникновения методов математической логики в математический анализ.