Читать онлайн «Функциональный анализ. Учебное пособие»

Федеральное агентство по образованию Уральский федеральный университет А. Р. Данилин ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ Учебное пособие (исправленный и переработанный электронный вариант) Екатеринбург 2011 УДК 517. 98(075. 8) Д182 Рецензенты: кафедра вычислительной математики Челябинского государственного университета (заведующий кафедрой доктор физико-математических наук, профессор В. Н. Павленко); доктор физико-математических наук, профессор Т. Ф. Филиппова (Институт математики и механики УрО РАН) Данилин А. Р. Функциональный анализ: учеб. пособие. - Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та. 2007. - 188 с. ISBN В пособии излагается курс функционального анализа и интегральных уравнений. Приводятся примеры и упражнения для самостоятельного решения. Предназначено для студентов математических специальностей классических университетов. © Уральский государственный университет, 2007 ISBN ?-????-????-? © Данилин А. Р. , 2007 Содержание Предисловие 6 Глава 1. Метрические и топологические пространства 10 1. Метрика, норма, скалярное произведение 10 2. Топология метрических пространств 17 3. Предел и непрерывность в метрических пространствах 21 4. Сепарабельные метрические пространства 26 5. Полные метрические пространства 27 6. Компактность в метрических пространствах ... 32 7. Равномерно непрерывные отображения метрических пространств 41 8. Топологические пространства 44 Глава 2. Линейные нормированные и топологические пространства 55 9. Выпуклые и абсолютно выпуклые множества ... 55 10. Поглощающие множества и псевдовнутренние точки 58 11. Полунормы и фукционал Минковского 60 12. Общие свойства нормированных пространств . . 62 13. Ряды в нормированных пространствах 65 14. Базисы и полные системы в нормированных пространствах 67 15. Евклидовы и гильбертовы пространства 69 16. Ряды Фурье в евклидовых и гильбертовых пространствах 73 17. Несепарабельные гильбертовы пространства ... 76 18. Линейные топологические пространства 77 Глава 3. Линейные операторы и линейные функционалы 81 19. Ограниченные линейные операторы и их нормы . 81 3 20. Принцип равномерной ограниченности 86 21. Линейные функционалы 88 22. Сопряженные пространства 90 23. Теорема Хана — Банаха и ее следствия 94 24. Отделимость выпуклых множеств 98 25. Двойственность и рефлексивность 101 26. Слабая сходимость в нормированных пространствах 107 27. Сопряженные операторы 115 28. Теоремы Банаха об открытом отображении и о замкнутом графике 117 29. Дуальные системы 123 30. Спектр и резольвента 127 31. Компактные (вполне непрерывные) операторы . 131 32. Теория Рисса — Фишера, теоремы Фредгольма . 139 33. Нётеровы и фредгольмовы операторы 142 34. Линейные операторы в гильбертовых пространствах 147 35. Интегральные уравнения 152 36. Некоторые методы решения интегральных уравнений 156 37. Применение теории операторов в гильбертовых пространствах к решению уравнений в частных производных 158 38. Соболевские пространства 163 Глава 4. Обобщенные функции 171 39. Пространство Χ>(Ω) 171 40.