Читать онлайн «Лекции по теории функций комплексного переменного»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ Т. А. Леонтьева ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Учебное пособие Москва 2003 УДК 517. 5 ББК-22. 161. 5 Л-47 Т. А. Леонтьева Лекции по теории функций комплексного переменного (учебное пособие). Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова (лицензия ИД N 05899 от 24. 09. 2001), 2003 — 156 с. Печатается по решению Редакционно-издателъского совета факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова Рецензенты: д. ф. м. н. , проф. Седлецкий A. M. , д. ф. м. н. , проф. Шикин Е. В. Лекции по теории функпий комплексного переменного рассчитаны на студентов второго курса факультета ВМиК. Читается курс в течение одного семестра и состоит примерно из 18 лекций. Рассматриваются такие фундаментальные понятия как непрерывность, интегрируемость и диф- ференцируемость функций комплексного переменного. Изучаются вопросы теории аналитических и гармонических функций и применение этой теории к конформным отображениям. В конце лекций рассматриваются вопросы операционного исчисления и его связь с решениями дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Лекции содержат около 50 задач теоретического характера. Изложение лекций согласуется с курсом математического анализа, который читается параллельно курсу ТФКП. Данное пособие будет полезно студентам и аспирантам технических университетов и вузов, изучающих курс ТФКП. ISBN 5-89407-151-8 © Издательский отдел факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова 2003 Оглавление. Предисловие 4 1. Комплексные числа и их свойства. Множества на комплексной плоскости 6 2. Функции комплексного переменного. Непрерывность и дифферен- цируемость. Геометрический смысл аргумента и модуля производной. 15 3. Элементарные функции комплексного переменного. Интегрирование функций комплексного переменного. Интегральная теорема Ко- ши 25 4. Интегральная формула Коши. Интеграл типа Коши. Теорема Мо- рера 37 5. Гармонические функции, принцип максимума модуля аналитической функции, принцип максимума гармонической функции 47 6. Числовые и функциональные ряды 54 7. Теорема единственности аналитических функций. Разложение гармонических функций в ряды 64 8. Многозначные функции. Аналитическое продолжение 70 9. Аналитическое продолжение через границу области и через разложение в степенные ряды. Понятие поверхности Римана 77 10. Ряды Лорана. Изолированные особые точки 84 11. Вычет аналитической функции. Теорема о вычетах. Вычисление интегралов с помощью теоремы о вычетах 93 12. Логарифмический вычет, принцип аргумента, теорема Руше. 102 13. Конформные отображения. Основные принципы конформных отображений 108 14. Дробно-линейное невырожденное преобразование и его свойства. 114 15. Конформные отображения, осуществляемые функцией Жуковского, элементарными функциями (zn, e", cos z, tg z) 121 16. Задача Дирихле для оператора Лапласа 128 17. Интеграл Лапласа и его основные свойства 137 18.