Читать онлайн «Кратчайшие линии. Вариационные задачи»

ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ВЫПУСК 19 Л. А. ЛЮСТЕРНИК КРАТЧАЙШИЕ ЛИНИИ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ tt ft -j • ¦ ¦¦ '. i ¦ : ,-'„ Ц ft T -: ¦-: ¦. '¦¦(";-*•• if rirt Is. : •; = : 'i '. '. 1 i. j'i ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1965 11-3-1 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 5 ЛЕКЦИЯ 1 Глава I. Кратчайшие линии на простейших поверхностях 7 § 1. Кратчайшие линии на многогранных поверхностях . . 7 § 2. Кратчайшие линии на поверхности цилиндра 12 § 3. Кратчайшие линии на конической поверхности 20 § 4. Кратчайшие линии на поверхности шара 28 Глава II. Некоторые свойства плоских и пространствен- пространственных кривых и относящиеся к ним задачи ... . 36 § 5. Касательная и нормали к плоским кривым и связан- связанные с ними задачи 36 § 6. Некоторые сведения из теории плоских и простран- пространственных кривых 41 § 7. Некоторые сведения из теории поверхностей 45 Глава III. Геодезические линии 47 § 8. Теорема И. Бернулли о геодезических линиях 47 § 9. Дополнительные замечания о геодезических линиях. 52 § 10. Геодезические линии на поверхностях вращения ... 57 лекция 2 Глава IV. Задачи, связанные с потенциальной энергией на- натянутой нити « 60 § 11. Движения линий, не меняющие их длин 60 § 12. Эволюты и эвольвенты 66 § 13. Задачи на равновесие системы упругих нитей 67 Глава V. Изопериметрическая задача 72 § 14. Кривизна и геодезическая кривизна 72 § 15. Изопериметрическая задача 75 !• 3 Глава VI. Принцип Ферма и его следствия 81 § 16. Принцип Ферма 81 § 17. Кривая рефракции 83 § 18. Задача о брахистохроне 87 § 19. Цепная линия и задача о наименьшей поверхности вращения 90 § 20. Связь между механикой и оптикой 99 ВВЕДЕНИЕ В настоящей книжке исследуется с элементарной точки зрения ряд так называемых вариационных задач. В этих за- задачах рассматриваются величины, зависящие от кривой, и ищется кривая, для которой эта величина достигает своего наибольшего или наименьшего значения. Таковы, например, задачи: среди всех кривых, соединяющих две точки на не- некоторой поверхности, найти кратчайшую; на плоскости среди всех замкнутых кривых заданной длины найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь, и т. д. Материал этой книги в основном излагался автором на лекциях в школьном математическом кружке МГУ. Содер- Содержание первой лекции (§§ 1—10) в основном совпадает с содержанием вышедшей в 1940 г. брошюры автора «Гео- «Геодезические линии». У читателя предполагается только знакомство с курсом эле- элементарной математики. При этом первые главы носят со- совершенно элементарный характер, другие же, не требуя специальных знаний, требуют несколько большего навыка к математическому чтению и размышлению. Весь материал книжки можно рассматривать как элемен- элементарное введение в вариационное исчисление (так называется тот раздел математики, в котором систематически изучаются задачи на отыскание минимума или максимума функционалов). Вариационное исчисление не входит в первый концентр курса «высшей математики», изучающегося, например, в техниче- технических вузах.