Читать онлайн «Практикум на ЭВМ. Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА Механико- математический факультет Кафедра вычислительной математики К. Ю. Богачев Практикум на ЭВМ. Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений Москва 1998 год СОДЕРЖАНИЕ 2 Содержание ПРЕДИСЛОВИЕ 6 Глава I. ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 7 §1. МАТГИЧНЫЕ НОГМЫ 7 §2. ОБГАТИМОСТЬ МАТГИЦЫ, БЛИЗКОЙ К ОБГАТИМОЙ МА- ТГИЦЕ 12 §3. ОШИБКИ В ГЕШЕНИЯХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 12 §4. МЕТОД ГАУССА 15 §4. 1. Алгоритм метода Гаусса 15 §4. 2. Оценка количества арифметических операций в методе Гаусса 17 §4. 3. Представление метода Гаусса в виде последовательности элементарных преобразований 18 §4. 4. Алгоритм построения LU-разложения 19 §4. 5. Оценка количества арифметических операций в алгоритме построения ^[/-разложения 21 §4. 6. Осуществимость метода Гаусса 21 §5. МЕТОДЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ИСКЛЮЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ ДЛЯ ЛЕНТОЧНЫХ МАТГИЦ 22 §5. 1. Метод Гаусса для ленточных матриц 22 §5. 2. Алгоритм LU-разложения для трехдиагональных матриц . 23 §5. 3. Метод прогонки для трехдиагональных матриц 24 §6. ЗАДАЧА ОБГАЩЕНИЯ МАТГИЦЫ 26 §7. МЕТОД ГАУССА С ВЫБОГОМ ГЛАВНОГО ЭЛЕМЕНТА 27 §8. МЕТОД ЖОГДАНА (ГАУССА-ЖОГДАНА) 31 §9. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПГЕДЕЛЕННЫЕ МАТГИЦЫ 33 §10. МЕТОД ХОЛЕЦКОГО (КВАДГАТНОГО КОГНЯ) 35 §10. 1. Газложение Холецкого 35 §10. 2. Алгоритм построения разложения Холецкого 36 §10. 3. Оценка количества арифметических операций в алгоритме построения разложения Холецкого 39 СОДЕРЖАНИЕ 3 §11. МЕТОД ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ 39 §12. МЕТОД ВРАЩЕНИЙ 43 §12. 1. Матрица элементарного вращения и ее свойства 43 §12. 2. Алгоритм метода вращений 46 §12. 3. Оценка количества арифметических операций в методе вращений 48 §12. 4. Построение Q-R-разложения методом вращений 50 §12. 5. Оценка количества арифметических операций в алгоритме построения QR -разложения методом вращений 51 §13. МЕТОД ОТРАЖЕНИЙ 52 §13. 1. Матрица отражения и ее свойства 53 §13. 2. Алгоритм метода отражений 55 §13. 3. Оценка количества арифметических операций в методе отражений 58 §13. 4. Построение Q-R-разложения методом отражений 59 §13. 5. Оценка количества арифметических операций в алгоритме построения QR -разложения методом отражений 61 §14. ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ К ПОЧТИ ТРЕУГОЛЬНОМУ ВИДУ УНИТАРНЫМ ПОДОБИЕМ МЕТОДОМ ВРАЩЕНИЙ 62 §14. 1. Случай произвольной матрицы 62 §14. 2. Случай симметричной матрицы 67 §15. ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ К ПОЧТИ ТРЕУГОЛЬНОМУ ВИДУ УНИТАРНЫМ ПОДОБИЕМ МЕТОДОМ ОТРАЖЕНИЙ 71 §15. 1. Случай произвольной матрицы 71 §15. 2. Случай самосопряженной матрицы 75 Глава II. МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 79 §1. ТОЧНЫЕ И ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 79 §2. ЛОКАЛИЗАЦИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 80 §3. ОШИБКИ ПРИ НАХОЖДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ . 82 §4. СТЕПЕННОЙ МЕТОД 83 §4. 1. Описание алгоритма 83 §4. 2. Оценка количества арифметических операций на один шаг алгоритма 85 §5. МЕТОД ВРАЩЕНИЙ ЯКОБИ 85 §5. 1. Описание алгоритма 85 §5. 2. Выбор угла вращения 87 §5. 3. Стратегии выбора обнуляемого элемента 89 СОДЕРЖАНИЕ 4 §5. 3. 1. Метод вращений с выбором максимального элемента 90 §5. 3. 2.