Читать онлайн «Интегрирование по Лебегу»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ С. К. Водопьянов ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЛЕБЕГУ Учебное пособие Новосибирск 2014  ББК В. 162. 12 УДК 517. 5 А465 Водопьянов С. К. Интегрирование по Лебегу: Учеб. пособие / Но- восиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2014. 160 с. В пособии изложены начальные сведения о методе интегрирования по Лебегу (по счетно аддитивной мере) в объёме, соответствующем про- грамме базового курса «Математический анализ», читаемого студентам 2-го курса механико-математического факультета НГУ. В том случае, когда мера промежутка — это его длина, полученный интеграл совпа- дает с классическим интегралом Лебега. Излагаемая в пособии теория интеграла Лебега включает лебегово расширение меры, построение σ- кольца измеримых множеств, на которое единственным способом рас- пространяется данная мера, определение класса интегрируемых функ- ций, а также доказательства основных свойств интегрируемых функ- ций, включая теоремы о сходимости, теорему Фубини и теорему о за- мене переменной под знаком интеграла. В учебное пособие включена также теорема Лебега о дифференцируемости интеграла и ее много- численные следствия. Вторая часть пособия посвящена конструкции меры Хаусдорфа, ко- торая служит обобщенной метрической характеристикой таких понятий как длина, площадь и объем. Доказываются формулы площади и ко- площади. Далее с помощью формулы коплощади выводится формула Стокса для внешних форм. Приведены задачи, рекомендуемые для решения на практических занятиях по указанному курсу. Предназначено студентам и преподавателям механико-математичес- кого факультета НГУ и других вузов с математическим профилем. Рецензент c Новосибирский государственный университет, 2014 Содержание Предисловие 3 1. Множества и их характеристические функции 3 1. 1. Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. 2. Определение характеристической функции множества . 4 1. 3. Характеристические функции и операции над множе- ствами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1. 4. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Дробящиеся системы 8 2. 1. Определение дизъюнктной системы множеств . . . . . 8 2. 2. Определение дробящейся системы множеств . . . . . . 8 2. 3. Примеры дробящихся систем . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2. 4. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2. 5. Определение элементарного множества в Rk . . . . . . . 15 3. *Кольца, σ-кольца, алгебры и σ-алгебры множеств 16 3. 1.