Читать онлайн «Почему граница круглой капли превращается в инверсный образ эллипса»

СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ СТУДЕНТОВ А. Н. ВАРЧЕНКО, П. И. ЭТИНГОФ ПОЧЕМУ ГРАНИЦА КРУГЛОЙ КАПЛИ ПРЕВРАЩАЕТСЯ В ИНВЕРСНЫЙ ОБРАЗ ЭЛЛИПСА ш МОСКВА НАУКА* ФИЗМАТЛИТ 1995 ББК 22. 311 Серия BJC «Современная математика для студентов» УДК 517 95 издается с 1989 года Серия «Современная математика для студентов» выпускается под об- общим руководством Правления Московского математического общества. Главный редактор серии—Президент Московского математического общества академик С. П. Новиков Варченко А. Н. , ЭтингофП. И. Почему граница круг- круглой капли превращается в инверсный образ эллипса. —М. : Наука. Физматлит, 1995. —80 с. — (Современная математика для студентов). — ISBN 5-02-014941-1 Представляет собой расширенный вариант доклада на заседании сту- студенческого лектория Московского математического общества. Рассматривается плоскопараллельное движение в пористой среде ог- ограниченного объема вязкой жидкости, окруженного жидкостью нулевой вязкости,—модель, возникающая в нефтяной гидромеханике и многих других областях, ее удивительные математические свойства, ее неожидан- неожиданные связи с комплексным анализом, элементарной алгебраической гео- геометрией и теорией ньютоновского потенциала. Включены 30 задач различной степени трудности с решениями. Для студентов, аспирантов и научных работников — математикоа, механиков и физиков, интересующихся приложениями математики. Ил. 40. Библиогр. 26 назв. „1604010000-020. , , В—пкъгая^- ос Бе3 о6ьявл- © А. Н. Физматлит, ISBN 5-02-014941-1 оформление, 1995 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 5 § 1. Математическая модель 6 1. 1. Фильтрационный поток несжимаемой жидкости 6 1. 2. Задача о движении границы между жидкостями 7 1. 3. Метод ломаных Эйлера 8 § 2. Первые интегралы движения границы 8 2. 1. Теорема Ричардсона о первых интегралах 8 2. 2. Восстановление области по значениям моментов и об- обратная задача теории потенциала 10 2. 3. Результаты о единственности области с заданным набором моментов (потенциалом) 10 2. 4. Независимость результата закачки от порядка дей- действия источников 12 § 3. Алгебраические решения : 13 3. 1. Алгебраические и абелевы области 13 3. 2. Алгебраические решения 13 3. 3. Функция моментов и ее свойства 14 3. 4. Теорема о соответствии особенностей 15 3. 5. Доказательство теоремы об алгебраических решени- решениях 17 3. 6. Построение алгебраических решений 17 3. 7. Примеры 19 § 4. Задача о стягивании подвижного контура 23 4. 1. Формулировка задачи 23 4. 2. Свойство вложенности 25 4. 3. Стягивание выпуклой области 25 4. 4. Точки стягивания 27 4. 5. Аналог теоремы Ричардсона 28 4. 6. Динамика гравитационного потенциала 30 4. 7. Потенциал как решение краевой задачи 30 4. 8. Доказательство основной теоремы 31 4. 9. Автомодельные решения 32 4. 10. Асимптотика стягивания 33 4. 11. Случай нескольких источников 35 § 5. Задача об эволюции многосвязной области 37 5. 1. Формулировка задачи 37 5. 2. Интегралы динамики области 37 5. 3. Алгебраические решения 38 1 * 3 5. 4. Теорема Римана 39 5. 5.