Читать онлайн «Интегрирование по Риману»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ С. К. Водопьянов ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО РИМАНУ Учебное пособие Новосибирск 2012  ББК В. 162. 12 УДК 517. 5 А465 Водопьянов С. К. Интегрирование по Риману: Учеб. пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2012. 146 с. В пособии изложены начальные сведения об интегрировании по ко- нечно-аддитивной мере в объёме, соответствующем программе базово- го курса «Математический анализ», читаемого студентам 1-го курса механико-математического факультета НГУ. В том случае, когда мера промежутка — это его длина, полученный интеграл совпадает с класси- ческим интегралом Римана. В случае произвольной меры класс инте- грируемых функций несколько шире класса функций, интегрируемых по Риману — Стильтьесу. Приведены задачи, рекомендуемые для решения на практических занятиях по указанному курсу. Предназначено студентам и преподавателям механико-математичес- кого факультета НГУ и других вузов с математическим профилем. Рецензент c Новосибирский государственный университет, 2012 Содержание Предисловие 5 1 От интеграла Римана к интегрированию по конечно- аддитивной мере 6 1. 1 Определение интеграла Римана . . . . . . . . . . . . . . . 6 1. 2 Критерий Коши существования интеграла . . . . . . . . 7 1. 3 Переход к дизьюнктным разбиениям . . . . . . . . . . . . 9 1. 4 Переход к ступенчатым функциям . . . . . . . . . . . . . 10 2 Множества и их характеристические функции 13 3 Разбиения отрезка 14 4 Ступенчатые функции 19 5 Мера 21 6 Канторовы множества 32 7 Элементарный интеграл 40 8 Интегральная норма Дарбу 45 9 Пространство интегрируемых по конечно ад- дитивной мере функций. Интеграл Римана 48 10 Классические критерии интегрируемости 62 11 Критерий интегрируемости Лебега 70 12 Классы интегрируемых функций 77 13 Описание первообразных. Формула Ньютона — Лейбница. Формула интегрирования по частям 80 14 Расширение понятия интегрируемой по Рима- ну функции 86 3 15 Сведение интеграла по мере µ к интегралу Ри- мана 95 16 Формула замены переменной 103 17 Теоремы о среднем 114 18 Интегральные суммы Римана 117 19 Интеграл и предельный переход 123 20 Теорема Рисса о представлении линейного огра- ниченного функционала над пространством непре- рывных функций 131 21 Теорема Витали о покрытиях 137 22 Применения 139 22. 1 Вектор-функции вещественной переменной . . . . . . . . 139 22. 2 Длина пути . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 22. 3 Площади плоских фигур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4  Предисловие Интуитивное представление о площади фигур на плоскости подска- зывает правдоподобность следующих свойств. 1) Монотонность: если фигура A содержится в фигуре B, то S(A) ≤ S(B). 2) Аддитивность: для непересекающихся фигур A и B имеем S(A ∪ B) = S(A) + S(B).