Читать онлайн «Математический анализ, 4 семестр»
Автор Царьков И.Г.
Математический анализ, 4-ый семестр
Царьков И. Г. Оглавление
1 Множества и операции над ними. 5
1. 1 Понятие множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1. 2 Операции над множествами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1. 3 Декартово произведение множеств. Понятие отображения . 8
1. 4 Отношение порядка. Упорядоченные множества. . . . . . . 11
1. 5 Отношение эквивалентности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Множества действительных чисел. 15
2. 1 Определение действительных чисел. . . . . . . . . . . . . . 15
2. 2 Принцип полноты Вейерштрасса. Существование точной
верхней и точной нижней грани. . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. 3 Право- и левоиндуктивные множества. Целые и натураль-
ные числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. 4 Принцип математической индукции. Конечные и бесконеч-
ные множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2. 5 Геометрическая интерпретация множества действительных
чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2. 6 Принцип полноты Кантора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.
7 Открытые и замкнутые множества на прямой. . . . . . . . 32
2. 8 Предельные и изолированные точки множеств. Критерий
замкнутости. Компактность. Принцип Больцано-Вейерштрасса. 35
2. 9 Понятие равномощности множеств. Мощности Q и R. . . . 37
3 Числовые последовательности. Предел последовательно-
сти 44
3. 1 Сходимость и ограниченность числовых последовательно-
стей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3. 2 Бесконечно малые последовательности и их свойства. Ариф-
метические и другие свойства предела последовательности. 47
3. 3 Теорема Вейерштрасса о монотонной последовательности. Число e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3. 4 Расширенная числовая прямая. Предел в широком смысле. Пределы типа ”e” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3. 5 Частичный предел. Верхний и нижний пределы. . . . . . . 54
2
3
3. 6 Критерий Коши существования предела числовой после-
довательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3. 7 Преобразование Тёплица. Теоремы Коши и Штольца . . . . 58
3. 8 Понятие направленности и ее предела. . . . . . . . . . . . . 59
4 Предел функции. 61
4. 1 Эквивалентные определения предела функции по Коши и
Гейне. Свойства предела функции. Критерий Коши. . . . . 61
4. 2 Односторонние пределы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4. 3 Пределы монотонных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Непрерывность функции. 69
5. 1 Свойства функций, непрерывных в точке.
