Читать онлайн «Сборник задач по теории функций действительного переменного»

С. А. ТЕЛЯКОВСКИИ СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов математических специальностей высших учебных заведений ш МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ■ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1 980 22. 161. 8 T31 УДК 517. 5 Сборник задач по теории функций действительного переменного. Теляковский С. А. — М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. Сборник содержит задачи, относящиеся к элементам теории множеств, теории меры, измеримым функциям, интегралу Лебега и теории дифференцирования. Основное содержание сборника составляют задачи средней и повышенной трудности. Сборник предназначается для проведения семинарских занятий и для самостоятельной работы студентов, изучающих курсы теории функций действительного переменного, теории функций и функционального анализа, анализа-Ill. © Наука. 20203—012 Главная редакция Т л. ^,лт о» 16-79. 1702050000 физико-математической 053 (02)-80 литературы, 1980 ПРЕДИСЛОВИЕ Теория функций действительного переменного изучается студентами Математических специальностей университетов и педагогических институтов в качестве отдельной дисциплины или как составная часть курсов теории функций и функционального анализа или анализа-Ш. Отдельные темы из теории функций действительного переменного — в первую очередь интеграл Лебега — изучаются также студентами ряда университетов, специализирующимися в области механики и теоретической физики, и студентами некоторых технических вузов с повышенной подготовкой по математике. Это связано с тем, что изучение на современном уровне ряда разделов анализа в широком понимании этого слова (имеются в виду некоторые разделы теории вероятностей, дифференциальных уравнений и т. д. ) требует знания интеграла Лебега. В последние годы наметилась тенденция включать интеграл Лебега наряду с интегралом Римана в курс математического анализа. Например, учебники математического анализа С. М. Никольского [8] и В. А. Ильина и Э. Г. Позняка [4] содержат главы, посвященные интегралу Лебега. Важная роль интеграла Лебега в анализе обусловлена тем, что он хорошо приспособлен к операции предельного перехода и что пространства функций, интегрируемых по Лебегу, полны. Настоящий сборник задач составлен так, что интеграл Лебега занимает в нем центральное место. При этом избран наиболее часто употребляемый, традиционный путь введения интеграла Лебега, когда 1* 3 сначала определяются измеримые множества и функции. Расположение материала в сборнике таково. Первые две главы являются вспомогательными. Они посвящены теории множеств, поскольку для изучения теории функций действительного переменного необходимо владение элементами теории множеств. В третьей главе вводится мера на кольцах множеств, затем строится лебегово продолжение меры и рассматриваются свойства измеримых множеств. Четвертая глава посвящена измеримым функциям, в частности, вопросам сходимости последовательностей измеримых функций.