Читать онлайн «Методы математической физики - сборник задач»

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 3-ГО КУРСА А. Г. Аленицын, А. С. Благовещенский, М. А. Лялинов, В. В. Суханов Санкт-Петербургский Государственный Университет Физический факультет Предлагаемый сборник задач и упражнений охватывает материал для практических занятий по ма- математической физике. Он обобщает опыт, накопленный сотрудниками кафедры высшей математики и математической физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного универ- университета. Около половины задач сборника не являются оригинальными, они заимствованы из извест- известных задачников (Л. И. Волковыского, Г. Л. Лунца и И. Г. Арамановича; Н. М. Понтера и Р. О. Кузьмина; М. А. Евграфова; В. С. Владимирова), ссылки на которые не приведены. Использованы также мате- материалы из пособия "Методические указания к практическим занятиям по курсу математической физи- физики", написанного сотрудниками кафедры. Подбор задач и их последовательность соответствуют курсу "Методы математической физики", читаемому на физическом факультете Санкт-Петербургского уни- университета в первом и втором семестрах третьего курса. Сборник состоит из 5 глав, разбитых на параграфы. Нумерация параграфов сквозная по всему сборнику, причем полный номер задачи состоит из номера параграфа и номера задачи внутри парагра- параграфа, разделённых точкой. Некоторые более трудные задачи снабжены указаниями; для всех задач, кро- кроме задач на доказательство, в конце каждого параграфа даны ответы. Несколько оригинальных задач (автор — А. С. Благовещенский) выделены в тексте в виде Дополнений. В каждом параграфе приведе- приведены определения, формулы и теоремы, нужные для решения задач. Во многих случаях кратко описаны методы решения. Сборник предназначен для студентов и преподавателей физических и физико-математических фа- факультетов университетов и других высших учебных заведений. Оглавление ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 4 1. 1 Однозначные регулярные функции 4 /. /. / Комплексные числа 4 1. 1. 2 Условия Коши-Римана 6 1. 1. 3 Степенные ряды. Ряд Тейлора 8 1. 1. 4 Интеграл по контуру на комплексной плоскости 9 1. 1. 5 Ряд Лорана. Особые точки функции 10 1. 1. 6 Вычеты и их применение 13 1. 1. 7 Принцип аргумента. Теорема Руше 16 1. 1. 8 Разложение функций в ряды простых дробей и в бесконечные произведения 18 1. 2 Многозначные аналитические функции 23 1. 2. 1 Регулярные ветви 23 1. 2. 2 Римановы поверхности 25 1. 2. 3 Интегралы от многозначных функций 25 1. 3 Конформные отображения 28 1. 3. 1 Дробно-линейная функция 29 1. 3. 2 Степенная функция 31 1. 3. 3 Функция Жуковского 32 1. 3. 4 Функции expz, In z, sin z и cos z 32 1. 3. 5 Интеграл Кристоффеля-Шварца 34 1. 3. 6 Применение конформных отображений в электростатике 35 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 40 2. 1 Пространство К основных функций 40 2. 2 Пространство S основных функций 41 2. 3 Регулярные и сингулярные обобщённые функции 41 2. 4 Действия с обобщёнными функциями 42 2. 5 Локальное поведение обобщённых функций 45 2. 6 Основные и обобщённые функции многих переменных 45 2. 7 Предельный переход в пространстве обобщённых функций.