Читать онлайн «Введение в дифференциальную алгебру»

. БШЕКАСИРИШ 1 I i И. Клпллискии ВВЕДЕНИЕ в ДИФ ЕРЕНЦИАЛЬНУЮ ЕБР и * л Издательство иностранной: литературы * ACTUALITES SCIENTIFIQUES ET INDUSTRIELLES 1 25 1 PUBLICATIONS DE L'INSTITUT DE M АТНЁМ A T IQUE DE L'UNIVERSITE DE NANCAOO IRVING KAPLANSKY An introduction to d ifferential algebra HERMANN, PARIS, 1957 БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА «МАТЕМАТИКА» И. КАПЛАНСКИЙ ВВЕДЕНИЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНУЮ АЛГЕБРУ Перевод с английского Г. И. КЛЕЙНЕРМАНА Под редакцией М. М. ПОСТНИКОВА ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва, 1959 АННОТАЦИЯ Дифференциальная алгебра — новая и несомненно обладающая большим будущим ветвь алгебры, устанавливающая своеобразную связь последней с теорией дифференциальных уравнений. Литература на русском языке по этой дисциплине отсутствует. Брошюра И. Капланского знакомит читателя с основами современной дифференциальной алгебры и с возможными путями развития этой науки. В ней излагаются, в частности, основы теории Галуа для дифференциальных полей, т. е. теории Пикара — Вессио в ее современном виде. Брошюра эта будет очень полезна для математиков самых различных специальностей, желающих познакомится с фундаментальными понятиями дифференциальной алгебры. Она может быть также использована в качестве введения математиками, которые предполагают в дальнейшем глубже изучить эту теорию. Редакция литературы по математическим наукам. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА Дифференциальную алгебру легко описать: она состоит, (на 99°/0 или более) из работ Ритта и Колчина. Я написал эту брошюру для того, чтобы дифференциальная алгебра стала более доступна математической общественности. Ритт был в душе аналитиком, сам же предмет по существу относится к алгебре. Вследствие этого Ритт писал в таком стиле, который часто затруднял путь в дифференциальную алгебру как аналитикам, так и алгебраистам. Основная статья Колчина [2], посвященная теории Пи- кара— Вессио, написана удивительно ясно и элегантно. Однако ее невозможно полностью понять, не обращаясь к другим работам. В частности, она содержит существенные ссылки на более раннюю статью [1], в которой в свою очередь используется теория Ритта. Некоторые необходимые факты из алгебраической геометрии могут также затруднить многих читателей. Я пытался сделать изложение по возможности замкнутым в себе и элементарным. Кроме стандартного курса алгебры (в объеме, скажем, книги Birkhoff and MacLane, Survey of Modern Algebra), предполагаемый читатель должен владеть лишь теоремой Гильберта о корнях, теоремой Гильберта о базисах, начатками теории степени трансцендентности и обладать хотя бы поверхностным знанием теоретико-множественной топологии. Более осведомленный читатель без труда обнаружит, что в отдельных местах доказательства можно было бы сократить, применяя более хитроумный аппарат (кронекеровы произведения, теорию линейной свободы полей, методы алгебраической геометрии и т. п. ). Книга содержит два основных новшества: 1) Теория Пикара — Вессио развита без использования теоремы Ритта — Роденбаша о базисах. 2 Зак. 267.