Читать онлайн «Введение в алгебру, теорию чисел и комбинаторику (нет огл., только первые 148 с.)»

Введение в алгебру, теорию чисел и комбинаторику Колосов В. А. 31 августа 1999 года, испр. 1 марта 2001 года В этой книге даётся введение в современную комбинаторику и теорию чисел. Она представляет собой начальный курс для студентов математи- математиков и информатиков, решивших специализироваться в этих областях или использовать их в работе. Ныне набирает силу тенденция повышения роли конкретной математики, а принятый здесь элементарный подход находится в русле этой тенденции. Главное место в нашей книге играют примеры и задачи, а не теории и аксиоматика. Для понимания основной части книги не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Решение уравнений через различные классы функций — основная тема элементарной алгебры — является в этой книге главным стимулом для вве- введения новых понятий. Мы используем ныне забытый подход к решению уравнений — метод резольвент (глава 4). Он напрямую связан с группами перестановок и симметрическими многочленами, которые вводятся как раз в связи с этим методом (глава 9). Затем в главе 9 даётся доказательство теоремы Абеля-Руфини с заранее оговариваемым пробелом (допущенным в свое время Руфини). Зато приведенное доказательство иллюстрирует связь дискриминанта и кососимметрических функций — объектов, стоящих за решением уравнений, но не используемых при обычном подходе. Изложе- Изложение доводится до групп Галуа уравнений на конкретных примерах (глава 10). Кроме того, исследуется решение уравнений через тригонометрические функции (как обычные, так и гиперболические). Эта малоизвестная тема имеет прямое продолжение в высших областях алгебры — общие уравнения выше четвертой степени решаются через некое обобщение тригонометриче- тригонометрических функций на случай комплексного переменного (т. н. тэта-функции). В этой книге подробно изучаются уравнения первых четырех степеней. Все необходимые для этого сведения от теоремы Безу до комплексных чисел да- даются в первых главах книги. В 11 главе разбираются ныне незаслуженно забытие главы элементарной алгебры — исключение неизвестных при по- помощи результанта и преобразование Чирнгаузена. Арифметическим вопросам посвящены 5-8 и 10 главы. Основной задачей, для решения которой и вводятся новые понятия, служат уравнения в целых числах. В 5 главе изучаются цепные дроби и уравнение Пелля. Классы вы- вычетов вводятся в б главе для решения арифметических, криптографических и комбинаторных задач. Глава 7 посвящена обсуждению квадратичного за- закона взаимности и его приложений. Гауссовы суммы изучаются в 8 главе. Дается их приложение к построению правильных многоугольников. Глава 10 посвящена полям алгебраических чисел. В соответствии с принятым эле- элементарным подходом мы рассматриваем лишь числовые поля. Стимулом для введения этих понятий служат задачи о построении цирклем и линей- кой. В главе 11 и главе 13 также затрагиваются арифметические вопросы — теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел, критерий Дюма неприводимости целочисленных многочленов и вычисление числа неприво- неприводимых многочленов над полем вычетов.