Читать онлайн «Дополнительные главы курса Уравнения математической физики»

Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Часть I 7 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Глава 1. Пространства Соболева и теоремы вложения 13 § 1. Обобщенные производные и усредненные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 § 2. Пространства Соболева . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 § 3. След функций из H k (Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 § 4. Пространство H̊ 1 (Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 § 5. Вложение H 1 (a, b) в C([a, b]) . . . . . . . . . . . . . . . 32 § 6. Вложение H 1 (Q) в L2 (Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 § 7. Компактность вложения H 1 (Q) в L2 (∂Q) . . . . . . . . 37 § 8. Вложение H k (Q) в C l ( Q ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 § 9. Эквивалентные нормировки пространств H 1 (Q) и H̊ 1 (Q) 46 Глава 2. Краевые задачи для эллиптических уравнений 51 § 1. Вторая и третья краевые задачи для уравнения второго порядка . . . . . . . . . . . . . . 51 § 2. Первая краевая задача для уравнения второго порядка . . . . . . . . . . . . . . 63 § 3. Задача о собственных значениях и собственных функциях . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Часть II 83 Глава 3. Некоторые дополнительные сведения из теории пространств Соболева 85 § 1. Пространства Lp и L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 § 2. Вложение пространства W21 (Q) в Lp (Q) . . . . . . . . . 89 § 3. Обобщенные производные сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Глава 4. Разрешимость задачи Дирихле для общего линейного эллиптического уравнения второго порядка 103 § 1. Принцип максимума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 § 2. Пространства W̊2−1 (Q) и W2−1 (Q) . . . . . . . . . . . . . 110 § 3. Теоремы об однозначной разрешимости задачи Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Глава 5. Непрерывность по Гёльдеру решений эллиптических уравнений 125 § 1. Субрешения эллиптического уравнения . . . . . . . . . 126 § 2. Локальная ограниченность обобщенных решений эллиптического уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 § 3. Слабое неравенство Гарнака . . . . . . . . . . . . . . . 136 § 4. Непрерывность по Гёльдеру решений эллиптического уравнения . . . . . . . . . . . 141  Предисловие Настоящий курс лекций был прочитан в Научно-образова- тельном центре при Математическом институте им. В. А. Стек- лова. Он содержит независимое изложение некоторых разделов теории линейных эллиптических уравнений второго порядка, не входящиx в традиционные курсы.