Читать онлайн «Элементарная теория кривых»

A. A. Локшин, E. A. Сагомонян, А. С. Саакян Элементарная теория кривых § 1. Предварительные сведения 1. Экстремумы. Пусть функция f(x) определена на некотором (конечном или бесконечном) промежутке /, расположенном на оси Ох. Точка хо е I называется точкой локального максимума функции f(x), если существует достаточно малое е > 0 такое, что при всех х е I таких, что О < I х - хо \ < е, справедливо неравенство f(x) 0 такое, что при всех хе I таких, что 0< | х - xi \ < е, справедливо неравенство f(x) >f(x,) . (1. 2) Само число f(xi) называется тогда локальным минимумом функции f(x). Локальные максимумы и минимумы функции/^ называются также локальными экстремумами этой функции. Теорема 1. 1 (необходимое условие экстремума). Если точка хо локального экстремума функции f(x) является внутренней точкой промежутка I и если f(x) дифференцируема в этой точке, то Г(х)=0. (1. 3) Точки, в которых выполнено условие (1. 3), называются стационарными. Замечание 1. Из того, что для некоторой внутренней точки хо промежутка /выполнено условие (1. 3), еще не следует, что в этой точке f(x) имеет локальный экстремум. Таким образом, теорема, обратная теореме 1. 1, неверна. Замечание 2.

Если f(x) непрерывно дифференцируема в / всюду, кроме конечного числа точек, и если хо - точка локального экстремума функции f(x), то из теоремы 1. 1 следует, что справедливо одно из утверждений: а) выполнено равенство (1. 3); б) производная/' (хо) не существует; в) хо - граничная точка промежутка /. Внутренние точки промежутка /, в которых f'(x) - 0 или не существует, называются критическими точками первого рода. Теорема 1. 2 (достаточные условия экстремума). Пусть хо - внутренняя точка промежутка I, и пусть f(x) непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности этой точки. Тогда, если выполнено условие (1. 3) и, кроме того, найдется достаточно малое е> 0 такое, что f'(x) > 0 при Хо - е < х < Хо , (1. 4) f'(x) < 0 при Хо <х <Хо + £ , то хо является точкой локального максимума. Если же одновременно с условием (1. 3) для достаточно малого е> 0 выполняются неравенства f'(x) < 0 при Хо - £ < х < Хо , (1. 5) f'(x) > 0 при Хо <х <Хо + £ , то хо является точкой локального минимума. Наконец, если f'(x) не меняет знака при переходе через критическую точку х — хо , то хо не является точкой локального экстремума для/(х). Теорема 1. 3 (достаточные условия экстремума). Пусть хо - внутренняя точка промежутка I, и пусть f(x) дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности этой точки. Предположим, далее, что выполнено необходимое условие существования экстремума (1. 3). Тогда, если f"(xo) < 0, то хо является точкой локального максимума функции f(x), а если f"(xo) > 0, то хо - точка локального минимума функции f(x). Теорема 1. 4. Пусть хо - внутренняя точка промежутка I, и пусть f(x) непрерывно дифференцируема достаточное число раз в некоторой окрестности этой точки. Тогда если f'(xo) = f"(x») = ... = f2k-1](xo) = 0, fk)(xo) * 0, (1. 6) то хо является точкой локального экстремума функции f(x), а именно, хо является точкой локального максимума, если / ' (хо) < 0, и точкой локального минимума, если f2k> (хо) > 0.