Читать онлайн «Курс лекций по математическому анализу, 4 семестр»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет Курс лекций по математическому анализу Лектор — Валериан Иванович Гаврилов II курс, 4 семестр, поток механиков Москва, 2007 г. 2  Конспект лекций курса математического анализа, прочитанного В. И. Гавриловым в 2005–2007 гг. на отделе- нии механики, разбит на четыре части по семестрам. Представленная часть соответствует материалу четвёртого семестра. Лектор с большой благодарностью отмечает, что конспект набран и свёрстан студентом Кудашевым Евгением на основе его записей. Оглавление 3 Часть 6. Интегрирование в Rm, m > 1. 1. Двойной и кратные интегралы В сравнении с предыдущими семестрами, чтение курса математического анализа в четвёртом семестре имеет следующие особенности. Прежде всего, значительная часть излагаемого материала носит геометрический ха- рактер и исчерпывающие аналитические доказательства часто становятся весьма громоздкими. Далее, умень- шено число недельных лекционных часов (на одну четверть). И наконец, параллельно читается полный годовой курс дифференциальной геометрии. Указанные обстоятельства заставляют меня при изложении многих результатов опускать в их доказатель- ствах значительную часть деталей (в основном геометрического характера) в расчёте на здравый смысл слуша- телей и на ранее приобретённые ими (я надеюсь!) профессиональные знания, которые позволяют восстановить эти детали самостоятельно. Кроме того, я широко пользуюсь плодами курса дифференциальной геометрии. 1. 1. Мера Жордана на плоскости и в пространстве 1. 1. 1. Терминология Рассмотрим произвольное множество A в пространстве Rm , m > 1. Символом [A] обозначим множество всех точек прикосновения множества A; то есть, [A] — замыкание множества A и замкнутое множество в Rm , A ⊂ [A]. Символом ]A[ обозначим совокупность всех внутренних точек множества A, так что ]A[⊂ A (возможно, ]A[= ∅). Тогда множество [A]\]A[ называют границей множества A, обозначают гр. A (или ∂A), а его точки называют граничными точками множества A. Если обозначить Rm \A =⌉A и заметить, что ⌉]A[= [⌉A], то гр. А = [A]\]A[= [A]∩⌉]A[= [A] ∩ [⌉A]. (1) Из последней формулы непосредственно следует, что граница всякого множества (как пересечение замкнутых множеств) замкнута, и что гр. A = гр. ⌉А. (2) Утверждение 1. Граница объединения, пересечения и разности двух множеств содержится в объединении их границ.  Заметим, что [A ∪ B] = [A] ∪ [B]. В силу (1), гр. (A ∪ B) = [A ∪ B] ∩ [ ⌉(A ∪ B)] = ([A] ∪ [B]) ∩ [ ⌉A∩⌉B] ⊂ ([A] ∪ [B]) ∩ ([ ⌉A] ∩ [ ⌉B]) = ([A] ∩ [ ⌉A] ∩ [ ⌉B])∪ ∪ ([B] ∩ [ ⌉B] ∩ [ ⌉A]) ⊂ ([A] ∩ [ ⌉A]) ∪ ([B] ∩ [ ⌉B]) = гр.