Читать онлайн «Функциональный анализ»

Федеральное агентство по образованию Уральский федеральный университет А. Р. Данилин ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ Учебное пособие (исправленный и переработанный электронный вариант) Екатеринбург 2011 УДК 517. 98(075. 8) Д182 Рецензенты: кафедра вычислительной математики Челябинского го- сударственного университета (заведующий кафедрой доктор физико-математических наук, профессор В. Н. Павленко); доктор физико-математических наук, профессор Т. Ф. Фи- липпова (Институт математики и механики УрО РАН) Данилин А. Р. Функциональный анализ: учеб. пособие. – Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та. 2007. – 188 с. ISBN В пособии излагается курс функционального анализа и ин- тегральных уравнений. Приводятся примеры и упражнения для самостоятельного решения. Предназначено для студентов математических специально- стей классических университетов. c Уральский государственный университет, 2007 ISBN ?–????–????–? c Данилин А. Р. , 2007 Содержание Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Глава 1. Метрические и топологические простран- ства 10 1. Метрика, норма, скалярное произведение . . . . . 10 2. Топология метрических пространств . . . . . . . . 17 3. Предел и непрерывность в метрических пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4. Сепарабельные метрические пространства . . . . . 26 5. Полные метрические пространства . . . . . . . . . 27 6. Компактность в метрических пространствах . . . 32 7. Равномерно непрерывные отображения метриче- ских пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 8. Топологические пространства . . . . . . . . . . . . 44 Глава 2. Линейные нормированные и топологиче- ские пространства 55 9. Выпуклые и абсолютно выпуклые множества . . . 55 10. Поглощающие множества и псевдовнутренние точ- ки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 11. Полунормы и фукционал Минковского . . . . . . 60 12. Общие свойства нормированных пространств . . 62 13. Ряды в нормированных пространствах . . . . . . 65 14. Базисы и полные системы в нормированных про- странствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 15. Евклидовы и гильбертовы пространства . . . . . 69 16. Ряды Фурье в евклидовых и гильбертовых про- странствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 17. Несепарабельные гильбертовы пространства . . . 76 18. Линейные топологические пространства . . . . . 77 Глава 3. Линейные операторы и линейные функци- оналы 81 19. Ограниченные линейные операторы и их нормы . 81 3  20.