Читать онлайн «Аналитическая гипотеза Каратеодори»

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2002. Том 43, № 2 УДК 514. 752 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА КАРАТЕОДОРИ В. В. Иванов Аннотация: Цель статьи — дать читателю реальную возможность убедиться в том, что индекс изолированной омбилической точки аналитической поверхности не может быть больше единицы. Для поверхности, гомеоморфной сфере, это означает, в частности, что на ней непременно найдутся по крайней мере две омбилические точки, как и предполагал Каратеодори. Ил. 24, библиогр. 9. Точку, где нормальные кривизны поверхности во всех направлениях оди- наковы, называют омбилической. Вблизи такой точки поверхность очень по- хожа на кусочек сферы или плоскости. Согласно классической гипотезе, кото- рую традиция с давних времен приписывает Каратеодори, на любой достаточно гладкой замкнутой выпуклой поверхности существуют как минимум две омби- лические точки. Единственный реальный способ доказательства этой гипотезы, известный в настоящее время, основан на ее редукции к более смелому утверждению, ко- торое связывают с именем Левнера. Его предположение заключается в том, что индекс изолированной омбилической точки не может быть больше едини- цы. Так ли это на самом деле — все еще остается загадкой. Чуть ниже мы подробнее расскажем об этой замечательной задаче, которая, несмотря на свой вдохновляюще локальный характер, оказалась на удивление сложной и глубо- кой. В самой общей своей постановке она, по-видимому, еще долго будет ждать своего решения. При этом трудно сказать наперед, к чему может привести та патологическая свобода, которой обладают даже бесконечно дифференцируе- мые функции и описываемые ими поверхности. Не ограниченные никакими условиями регулярности, они способны преподнести любые сюрпризы. Если же речь идет об аналитической поверхности, когда сколь угодно сложные «особен- ности» рассыпаются на простейшие за конечное число шагов, то, казалось бы, вся проблема лишь в том, чтобы найти в себе силы совершить эти шаги . . . Прошло более полувека с тех пор, как Гамбургер [1] и Бол [2] предложили первые доказательства гипотезы Левнера для аналитических поверхностей, и свыше сорока лет после выхода в свет работы Клотц [3], где изложено дока- зательство, более короткое, чем в [1], и «более правильное», чем в [2]. Спу- стя полтора десятка лет Титус публикует большую работу [4], посвященную доказательству «обобщенной» гипотезы Левнера, по-прежнему содержащей в себе гипотезу Каратеодори. Но, судя по всему, за прошедшие долгие годы эти доказательства, как и другие, более поздние, так и не убедили матема- тическую общественность. В этом отношении показательна, например, вполне современная статья [5], где авторы, соблюдая осторожность, выражают свой основной результат в форме импликации: если гипотеза Левнера справедлива для аналитических поверхностей, то гипотеза Каратеодори верна и в том слу- чае, когда на поверхности есть омбилическая точка, удовлетворяющая условию Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований.