Читать онлайн «Векторы на экзаменах: Векторный метод в стереометрии»

С. А. ШЕСТАКОВ ВЕКТОРЫ НА ЭКЗАМЕНАХ Векторный метод в стереометрии Москва Издательство МЦНМО 2005 УДК 514. 742 ББК 22. 151. 0 Ш52 Шестаков С. А. Ш52 Векторы на экзаменах. Векторный метод в стереометрии. — М. : МЦНМО, 2005. — 112 с. : ил. ISBN 5-94057-203-0 В пособии изложены методы решения основных типов задач по стереометрии. Это задачи на вычисление отношений, в которых секущая плоскость делит ребра многогранника, вычисление расстояний от точки до прямой и плоскости, расстояний и углов между скрещивающимися прямыми, задачи на комбинации многогранников и тел вращения. Приводятся необходимые теоретические сведения, основные алго- ритмы, базирующиеся на свойствах векторов и проиллюстрированные примерами, и задачи для самостоятельного решения, отобранные из вариантов вступительных экзаменов в вузы и ЕГЭ. Пособие предназначено старшеклассникам, абитуриентам, учителям матема- тики. ББК 22. 151. 0 © Шестаков С. А. , 2005 ISBN 5-94057-203-0 © МЦНМО, 2005  ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ § 1. 1. Основные определения Определение вектора в пространстве ничем не отличается от опреде- ления вектора на плоскости. Определение 1. Вектором называется направленный отрезок, т. е. отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является на- чалом, а какая — концом. # Так же как и на плоскости, векторы обозначаются # a , AB и т. п. и на чертеже изображаются стрелкой. # Определение 2. Длиной (или модулем) вектора AB называется длина отрезка AB, а направление, определяемое лучом [AB), называется направ- # лением вектора AB. # Длина вектора #a обозначается | # a |, длина вектора AB обозначается # |AB|. Любая точка пространства также считается вектором, который назы- вается нулевым. Начало такого вектора совпадает с его концом, а длина #  # равна нулю. Обозначения нулевого вектора: AA, 0 . # Определение 3. Векторы # a и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. # #  Если ненулевые векторы AB и CD лежат на параллельных прямых (следовательно, в одной плоскости), причём лучи [AB) и [CD) лежат в од- # ной полуплоскости, границей которой является прямая AC, то векторы AB #  и CD называются сонаправленными; в случае же, когда эти векторы при- надлежат одной прямой, они называются сонаправленными, если один из лучей [AB) или [CD) целиком содержится в другом.