Читать онлайн «Дифференциальное исчисление функций многих переменных»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ С. К. Водопьянов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Учебное пособие Новосибирск 2012  ББК В. 162. 12 УДК 517. 5 А465 Водопьянов С. К. Дифференциальное исчисление функций мно- гих переменных: Учеб. пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2012. 125 с. В пособии изложены начальные сведения о дифференцировании в ко- нечномерных нормированных пространствах и некоторых его примене- ниях в объёме, соответствующем программе базового курса «Математи- ческий анализ», читаемого студентам 2-го курса механико-математичес- кого факультета НГУ. Приведены задачи, рекомендуемые для решения на практических занятиях по указанному курсу. Предназначено студентам и преподавателям механико-математичес- кого факультета НГУ и других вузов с математическим профилем. Пособие подготовлено в рамках реализации Программы развития НГУ как национального исследовательского университета Рецензент c Новосибирский государственный университет, 2012 Содержание Предисловие 3 1 Нормированные пространства 3 1. 1. Определение нормированного пространства. Примеры . 3 1. 2. Понятие сходимости в нормированном пространстве . . 4 1. 2. 1. Теорема Вейерштрасса о частичных пределах в (Rk , | · |∞ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1. 2. 2. Эквивалентность норм в конечномерном норми- рованном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1. 2. 3. Компактные множества в конечномерном нор- мированном пространстве . . . . . . . . . . . . . . 11 1. 3. Понятие фундаментальной последовательности. Кри- терий Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1. 3. 1. Критерий Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1. 4. Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1. 4. 1. Понятие ряда. Примеры. Необходимый признак сходимости. Признак Коши сходимости ряда . . 13 1. 4. 2. Мажорантный признак сходимости . . . . . . . . 14 2 Топология в метрическом пространстве 15 2. 1. Определение метрического пространства. Примеры. . . 15 2. 2. Элементарные окрестности. Понятие окрестности. Свой- ства окрестностей фиксированной точки. Понятие пре- дельной точки множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2. 2. 1. Понятие окрестности точки . . . . . . . . . . . . . 16 2. 2. 2.