Читать онлайн «Численные алгоритмы классической матфизики. XLIV. Высокоточные вычисления собственных значений оператора Лапласа (с краевым условием Неймана) в гладкой двумерной области»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ им. А. Ю. ИШЛИНСКОГО РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК Алгазин С. Д. ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МАТФИЗИКИ. XLIV. Высокоточные вычисления собственных значений оператора Лапласа (с краевым условием Неймана) в гладкой двумерной области. Препринт № 1101 Москва 2015 г. Аннотация. Методом вычислительного эксперимента исследуется задача о колеба- ниях неоднородной мембраны с гладким контуром и краевым условием Ней- мана. Показано, что на сетке 50×81 первые 100 собственных частот определя- ются с 5-7 знаками после запятой. Приводятся результаты расчётов и програм- мы на Intel фортране. Ключевые слова: Уравнение Лапласа, свободные колебания мембраны, вычислительный эксперимент. The summary. The method of computing experiment investigates a problem about oscilla- tions of an inhomogeneous diaphragm with a smooth contour and a boundary condi- tion of Neumann. It is shown that on a grid 50×81 the first 100 fundamental frequen- cies are defined with 5-7 signs after a comma. Outcomes of calculations and the pro- gram on Intel a FORTRAN are reduced. Keywords: The Equation of Laplace, free oscillations of a diaphragm, com- puting experiment. ISBN 978-5-91741-147-7 055(02)2  Институт проблем механики РАН 2015 2  Введение. В [1] описана методика численного решения задачи на собственные значения для оператора Лапласа. Эти результаты основаны на идеях К. И. Бабенко [2]. Первую публикацию автора на эту тему см. в [3]. Программы опубликованы в [4]. По сравнению с этой методикой в круге выбирается другая сетка по r (узлы, по нулям многочлена Чебышева, выбираются не на диаметре, а на радиусе единичного круга, тем самым они сгущаются как к границе круга, так и к центру, где уравнение оператора Лапласа в круге имеет особую точку). Эта простая модификация методики позволила освободиться от ограничения на число узлов в старой методике [1]. Теперь число узлов лимитируется только ограничениями Фортрана на размер массивов (практически это массивы примерно 104×104). Кроме того для задачи Неймана [5] применяется методика, основанная на вариационном принципе, что приводит к сим- метричной конечномерной проблеме собственных значений (в старой методике мат- рица конечномерной задачи только близка к симметризуемой). Это большое преиму- щество, которое позволяет решить уравнение теплопроводности в гладкой двумерной области [6]. Высокоточные вычисления собственных значений оператора Лапласа за- дачи Дирихле рассмотрены в [7]. Настоящая работа посвящена численным экспери- ментам по вычислению собственных значений оператора Лапласа с краевым услови- ем Неймана, сама методика опубликована в [5]. 1. Дискретизация по пространственным переменным. Рассмотрим спектральную задачу: w 1  w  1   w  L( w)   w  0,  0; L(w)   rk (r , )   2  k (r ,  )  . (1. 1) r r 1 r r  r  r       w 2 k  w  2  Заметим, что   L( w) wd     k    2  d  . | | 1   r  r     | | 1  3  Таким образом, краевая задача (1. 1) эквивалентна следующей экстремальной задаче   w 2 k  w  2  J ( w)    k    2    w d   min . 2 (1. 2)   r  r    | |1   Действительно, δJ (вариация функционала J) есть главная линейная часть при- ращения J(w+h)-J(w), где h – произвольная гладкая функция.