ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ
ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ им. А. Ю. ИШЛИНСКОГО
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
Алгазин С. Д.
ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ КЛАССИЧЕСКОЙ
МАТФИЗИКИ.
XLV. Об одной дискретной задаче Штурма-Лиувилля.
Препринт № 1104
Москва 2015 г.
Аннотация.
Исследуется дискретная задача Штурма-Лиувилля. Идея алгоритма принадлежит К. И. Бабенко. Показано, что при дискретизации возникают центро-симметричные матрицы, т. е. матрицы, элементы которых симметричны относительно центра матрицы. Матрицы этого вида обнаружены и изучены автором препринта в 1973 году, но по не зависящим от него причинам результаты не были опубликованы. В настоящей работе этот пробел восполняется. Приведены ссылки на западные работы, в которых исследуется этот вид матриц.
Ключевые слова: Задача Штурма-Лиувилля, численные алгоритмы без насыщения.
The summary.
The discrete problem of Sturm-Lowville is investigated. The i敤景愠杬牯瑩浨戠汥湯獧琠⹋䤠慂敢歮䤠⁴獩猠潨湷琠慨⁴瑡搠杩瑩穩瑡潩桴牥牡散瑮潲祳浭瑥楲慭牴硩獥琠敨洠瑡楲數桷捩汥浥湥獴愠敲猠浹敭牴捩挠湯散湲湩桴慭牴硩挠湥整䴠瑡楲數景琠楨獡数瑣愠敲搠獩潣敶敲湡瑳摵敩祢琠敨愠瑵潨景愠瀠敲牰湩⁴湩ㄠ㜹ⰳ戠瑵映牯爠慥潳獮渠瑯搠灥湥敤瑮漠瑩漠瑵潣敭慨敶渠瑯戠敥異汢獩敨䤠桴牰獥湥⁴潷歲琠楨慧⁰獩挠浯汰瑥摥敒敦敲据獥琠桴敷瑳牥潷歲湩眠楨档琠楨獡数瑣漠慭牴硩獥椠湩敶瑳杩瑡摥愠敲朠癩湥മഠ敋睹牯獤›桴牐扯敬景匠畴rm-Lowville, numerical algorithms without saturation.
ISBN 978-5-91741-150-7
055(02)2 ( Институт проблем механики РАН 2015
Введение. В [1] описана методика численного решения задачи на собственные значения для оператора Штурма-Лиувилля.
Формулы для программирования приведены в [2]:
П1. 2. Задача Штурма – Лиувилля
Подпрограмма EIGVAL
Подпрограмма EIGVAL сводит вычисление собственных чисел и собственных функций краевой задачи
EMBED Equation. DSMT4
к алгебраической задаче на собственные значения (A-λB)y = 0, где матрицы A и B вычисляются подпрограммой EIGVAL. Формулы для элементов матриц A и B приведены ниже.
Формулы для программирования
Формулы написаны для отрезка [-1,1]. Общий случай сводится к нему заменой независимой переменной. В приведенной в [1,2] подпрограмме эта замена проделана
EMBED Equation. DSMT4
EMBED Equation. DSMT4
EMBED Equation. DSMT4
где EMBED Equation. DSMT4
EMBED Equation. DSMT4
После вычисления Jki находим EMBED Equation. DSMT4 , где (ki – символ Кронекера.
Описание параметров:
SUBROUTINE EIGVAL (A,B,N,AL,AL1,BE,BE1,B1,B2,T,X):
A, B – выходные матрицы; N – размер матриц A и B; AL – параметр граничного условия α; AL1 – параметр граничного условия α1 ; BE – параметр граничного условия β;
BE1 – параметр граничного условия β1 ; B1 – конец отрезка b1 ; B2 – конец отрезка b2 ;
T, X – рабочие массивы длины N. Требуемые функции-подпрограммы Q, R.
Об одном классе матриц. Будем обозначать AR матрицу, которая получается из матрицы A по следующему алгоритму: последняя строка переходит в первую в обратном порядке; предпоследняя строка переходит во вторую строку, а элементы располагаются в обратном порядке и т. д. Если обозначить EMBED Equation. DSMT4 элементы матрицы AR, а EMBED Equation. DSMT4 элементы матрицы A, то
EMBED Equation. DSMT4
Таким образом, если n-нечётное число, то средняя строка переходит в себя в обратном порядке.