Читать онлайн «Численные алгоритмы классической матфизики. XLV. Об одной дискретной задаче Штурма-Лиувилля»

Автор Алгазин С.Д.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ
ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ им. А. Ю. ИШЛИНСКОГО
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК










Алгазин С. Д.


ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ КЛАССИЧЕСКОЙ
МАТФИЗИКИ.

XLV. Об одной дискретной задаче Штурма-Лиувилля.


Препринт № 1104











Москва 2015 г.





Аннотация.

Исследуется дискретная задача Штурма-Лиувилля. Идея алгоритма принадлежит К. И. Бабенко. Показано, что при дискретизации возникают центро-симметричные матрицы, т. е. матрицы, элементы которых симметричны относительно центра матрицы. Матрицы этого вида обнаружены и изучены автором препринта в 1973 году, но по не зависящим от него причинам результаты не были опубликованы. В настоящей работе этот пробел восполняется. Приведены ссылки на западные работы, в которых исследуется этот вид матриц.

Ключевые слова: Задача Штурма-Лиувилля, численные алгоритмы без насыщения.


The summary.

The discrete problem of Sturm-Lowville is investigated. The i敤⁡景愠杬牯瑩浨戠汥湯獧琠⹋䤠‮慂敢歮⹯䤠⁴獩猠潨湷琠慨⁴瑡搠杩瑩穩瑡潩桴牥⁥牡⁥散瑮潲祳浭瑥楲⁣慭牴硩獥‬⹩⹥琠敨洠瑡楲數⁳桷捩⁨汥浥湥獴愠敲猠浹敭牴捩挠湯散湲湩⁧桴⁥慭牴硩挠湥整⹲䴠瑡楲數⁳景琠楨⁳獡数瑣愠敲搠獩潣敶敲⁤湡⁤瑳摵敩⁤祢琠敨愠瑵潨⁲景愠瀠敲牰湩⁴湩ㄠ㜹ⰳ戠瑵映牯爠慥潳獮渠瑯搠灥湥敤瑮漠瑩漠瑵潣敭⁳慨敶渠瑯戠敥異汢獩敨⹤䤠桴⁥牰獥湥⁴潷歲琠楨⁳慧⁰獩挠浯汰瑥摥‮敒敦敲据獥琠桴⁥敷瑳牥潷歲⁳湩眠楨档琠楨⁳獡数瑣漠⁦慭牴硩獥椠⁳湩敶瑳杩瑡摥愠敲朠癩湥മഠ敋睹牯獤›桴⁥牐扯敬景匠畴rm-Lowville, numerical algorithms without saturation.











ISBN 978-5-91741-150-7
055(02)2 ( Институт проблем механики РАН 2015



Введение. В [1] описана методика численного решения задачи на собственные значения для оператора Штурма-Лиувилля.
Формулы для программирования приведены в [2]:
П1. 2. Задача Штурма – Лиувилля

Подпрограмма EIGVAL
Подпрограмма EIGVAL сводит вычисление собственных чисел и собственных функций краевой задачи
 EMBED Equation. DSMT4 
к алгебраической задаче на собственные значения (A-λB)y = 0, где матрицы A и B вычисляются подпрограммой EIGVAL. Формулы для элементов матриц A и B приведены ниже.
Формулы для программирования
Формулы написаны для отрезка [-1,1]. Общий случай сводится к нему заменой независимой переменной. В приведенной в [1,2] подпрограмме эта замена проделана
 EMBED Equation. DSMT4 
 EMBED Equation. DSMT4 
 EMBED Equation. DSMT4 
где  EMBED Equation. DSMT4 
 EMBED Equation. DSMT4 
После вычисления Jki находим  EMBED Equation. DSMT4 , где (ki – символ Кронекера.

Описание параметров:
SUBROUTINE EIGVAL (A,B,N,AL,AL1,BE,BE1,B1,B2,T,X):
A, B – выходные матрицы; N – размер матриц A и B; AL – параметр граничного условия α; AL1 – параметр граничного условия α1 ; BE – параметр граничного условия β;
BE1 – параметр граничного условия β1 ; B1 – конец отрезка b1 ; B2 – конец отрезка b2 ;
T, X – рабочие массивы длины N. Требуемые функции-подпрограммы Q, R.

Об одном классе матриц. Будем обозначать AR матрицу, которая получается из матрицы A по следующему алгоритму: последняя строка переходит в первую в обратном порядке; предпоследняя строка переходит во вторую строку, а элементы располагаются в обратном порядке и т. д. Если обозначить  EMBED Equation. DSMT4  элементы матрицы AR, а  EMBED Equation. DSMT4 элементы матрицы A, то
 EMBED Equation. DSMT4 
Таким образом, если n-нечётное число, то средняя строка переходит в себя в обратном порядке.