Читать онлайн «Расширенный и уточненный критерии устойчивости маятника Капицы»

компьютер t3 учсзБнам процессе □ DCUC УДК 534 Бутиков Евгений Иванович расширенный и уточненный критерии устойчивости маятника капицы Аннотация В предыдущих статьях автора о маятнике с осциллирующим подвесом дано наглядное физическое объяснение явления динамической стабилизации перевернутого маятника [1] и установлена генетическая связь параметрических субгармонических резо- нансов с условиями динамической стабилизации [2]. В данной статье на основе указанной связи получены уточненные значения нижней и верхней границ динамической стабилизации, справедливые в более широкой области параметров системы. В частности, полученные границы устойчивости справедливы при сравнительно низких частотах осцилляции подвеса маятника, когда метод разделения быстрых и медленных движений не работает, и традиционный критерий устойчивости перевернутого маятника неприменим. Приводятся результаты компьютерного моделирования, подтверждающие расширенный критерий устойчивости. Ключевые слова: параметрический резонанс, перевернутый маятник, динамическая стабилизация, субгармонические резонансы, фазовая синхронизация, компьютерное моделирование. 1. ВВЕДЕНИЕ. ПРИБЛИЖЕННЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРЕВЕРНУТОГО МАЯТНИКА Широко известная интересная особенность поведения жесткого маятника с осциллирующим подвесом заключается в динамической стабилизации перевернутого положения. При достаточно больших значениях амплитуды осцилляции подвеса приведенный в перевернутое положение маятник не обнаруживает тенденции к опрокидыванию. Если маятник немного отклонить от вертикали, он будет совершать небольшие колебания около перевернутого положения на фоне быстрых осцилляции подвеса. Физическое объяснение этого удивительного яв- ©Е. И. Бутиков, 2011 ления динамической стабилизации перевернутого маятника было предложено академиком П. Л. Капицей в 1951 году, выполнившим также и детальное экспериментальное исследование этого явления (см. [3, 4]). По словам Капицы, это явление «так же поучительно, как и динамическая устойчивость волчка, и ему следует занять почетное место в лектории на демонстрациях по механике» [4]. Стабилизацию перевернутого маятника обычно объясняют с помощью метода усреднения, основанного на эвристическом подходе, в котором при движении маятника мгновенный угол отклонения 0), сила инерции направлена вверх, что равносильно уменьшению силы тяжести.