Читать онлайн «Многоугольники на решетках»

В. В. Вавилов, А. В. Устинов МНОГОУГОЛЬНИКИ НА РЕШЕТКАХ Москва Издательство МЦНМО 2006 УДК 514. 112 Работа подготовлена к печати в рамках ББК 22. 151. 0 существующей системы научных грантов В12 Клуба ФМШ Колмогорова, выделяемых на конкурсной основе преподавателям и выпускникам школы им. А. Н. Колмогорова Вавилов В. В. , Устинов А. В. В12 Многоугольники на решетках. — М. : МЦНМО, 2006. — 72 с. : ил. ISBN 5-94057-246-4 Решетки на плоскости являются тем замечательным мостом (с доста- точно интенсивным двусторонним движением), который позволяет задачи алгебры, анализа, теории чисел переводить на геометрический язык и на- оборот — задачи дискретной геометрии облекать в аналитическую форму. Основу книги составляют вопросы, связанные с возможностью расположения на решетках правильных или «полуправильных» многоугольников (только с равными сторонами или только с равными углами), формулой Пика для площади многоугольника на решетке и ее тесной связью с комбинаторной формулой Эйлера. Книга написана на основе лекций, которые один из авторов читал в шко- ле им. А. Н. Колмогорова при МГУ, на Малом мехмате МГУ, а также для студентов, аспирантов и преподавателей вузов как у нас в стране, так и за рубежом. Библиография: 51 наименование. ББК 22. 151. 0 c В. В. Вавилов, А. В. Устинов, 2006. ISBN 5-94057-246-4 c МЦНМО, 2006. Оглавление Предисловие 4 Глава 1. Решетки на плоскости и в пространстве 6 § 1. 1. Основные свойства решеток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 § 1. 2. Фундаментальный параллелограмм . . . . . . . . . . . . . . . . 10 § 1. 3. Кристаллографическое неравенство . . . . . . . . . . . . . . . . 15 § 1. 4. Области Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Глава 2. Правильные многоугольники на решетках 26 § 2. 1. Треугольник и квадрат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 § 2. 2. Правильные многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 § 2. 3. Полуправильные многоугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 § 2. 4. Правильные многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Глава 3.