Читать онлайн «Введение в теорию гомологий»

ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Примеры теорий гомологий . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Гомотопическая инвариантность гомологий . . . . . . . . 15 3 Относительные гомологии и изоморфизм вырезания . . . 20 4 Длинная точная последовательность пары . . . . . . . . 23 5 Лемма о пяти гомоморфизмах . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6 Последовательность и принцип Майера–Вьеториса . . . 29 7 Аксиоматический подход к построению теории гомологий 32 8 Когомологии и гомологии с коэффициентами в абелевой группе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 9 Умножение в когомологиях . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 10 Гомологии многообразий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 11 Двойственность и когомологии . . . . . . . . . . . . . . . 52 12 Теория Морса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 13 Гомологии комплексных многообразий . . . . . . . . . . . 62 14 Спектральная последовательность . . . . . . . . . . . . . 68 15 Спектральная последовательность расслоения . . . . . . 73 16 Пример: теорема Пушкаря о диаметрах подмногообра- зий евклидова пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 17 Пространство Эйленберга–Маклейна как классифици- рующее пространство гомологий . . . . . . . . . . . . . . 87 18 Гомологии и гомотопии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 19 Грассманианы и исчисление Шуберта . . . . . . . . . . . 96 Письменный экзамен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4 Предисловие Предисловие Представленный текст является обработанными записками лекций, прочитанных в Научно-образовательном центре МИ РАН в осеннем семестре 2005 года. По теории гомологий имеется огромное количество замечательных учебников, поэтому необхо- димость появления еще одной книжки требует обоснования. Одно из основных отличий представленного текста является его срав- нительно небольшой объем. Это позволяет читателю быстро вой- ти в курс дела и охватить сразу целиком почти весь предмет. Я постарался включить по возможности все основные методы, используемые при вычислении гомологий, включая теорию Мор- са, двойственность Пуанкаре и спектральные последовательно- сти. Не останавливаясь на подробностях доказательств, я пред- почел больше времени уделить разбору разнообразных примеров и приложений. Поэтому данный курс следует рассматривать как «практическое руководство пользователя», заинтересованного в применении теории гомологий в своей области математики. Од- ним из очевидных недостатков такого подхода является недоста- точная проработка технических деталей. Доказательства многих утверждений приведены схематически или оставлены читателю в виде упражнений, поэтому от читателя требуется вдумчивость и трудолюбие. Как показали проведенные экзамены, недостаточ- ное уделение внимания деталям вызвало у некоторых слушателей обманчивое впечатление простоты предмета, в результате чего не до конца было осознано кардинальное различие между топологи- ческими свойствами открытых и замкнутых многообразий, отно- сительных и абсолютных гомологий, тривиальных и косых рас- слоений, гомологически простых и не простых расслоений и т. п.