Читать онлайн «Простейшие уравнения математической физики»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ Блинова И. В. , Попов И. Ю. Простейшие уравнения математической физики Учебное пособие Санкт-Петербург 2009 1  Блинова И. В. , Попов И. Ю. Простейшие уравнения математической физики / Учебное пособие. СПб: СПбГУ ИТМО, 2009. 60 с. В пособии изложены основные положения темы «Уравнения математической физики», входящие в программу общего курса высшей математики. Предназначено студентам всех специальностей и преподавателям. Рекомендовано к печати Советом естественнонаучного факультета 23. 12. 2008 (протокол N5) В 2007 году СПбГУ ИТМО стал победителем конкурса инновационных образовательных программ вузов России на 2007–2008 годы. Реализация инновационной образовательной программы «Инновационная система подготовки специалистов нового поколения в области информационных и оптических технологий» позволит выйти на качественно новый уровень подготовки выпускников и удовлетворить возрастающий спрос на специалистов в информационной, оптической и других высокотехнологичных отраслях экономики. © Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 2009 © Блинова И. В. , Попов И. Ю. 2009 2 Глава 1. Уравнение колебаний струны 1. 1 Уравнение малых поперечных колебаний Уравнение колебаний струны относится к уравнениям гиперболического типа. Каждую точку струны можно охарактеризовать значением ее абсциссы x. Для определения положения струны в момент времени t достаточно знать компоненты вектора смещения { U1 ( x, t ),U 2 ( x, t ),U 3 ( x, t ) } точки x в момент времени t. Будем предполагать, что смещения струны лежат в одной плоскости (x,U) и что вектор смещения U перпендикулярен в любой момент времени к оси x; тогда процесс колебания можно описать одной функцией U(x,t). Функция U(x,t) характеризует вертикальное перемещение струны. Рис. 1 ∂ 2U = a 2 ⋅ ∂ 2U -уравнение колебаний струны ∂t 2 ∂x 2 а=const - зависит от упругости, жесткости, массы и т. д. Существуют следующие методы решения уравнения колебаний струны: 1) Метод Даламбера (метод бегущих волн, метод характеристик). 2) Метод Фурье (метод стоячих волн, метод разделения переменных). 3 1. 2. Метод Даламбера (метод бегущих волн, метод характеристик) ∂ 2U = a 2 ⋅ ∂ 2U , (1. 1) ∂t 2 ∂x 2 Рассмотрим неограниченную струну и зададим начальные условия: ⎧⎪U ( x, 0) = ϕ ( x ) ⎨ (1. 2) ⎪⎩U t′ ( x, 0) = ψ ( x ) где ϕ ( x) - функция, задающая форму струны в начальный момент времени, ψ ( x) - скорость точки струны в начальный момент.