Читать онлайн «Границы разрешимости некоторых классов нильпотентных и разрешимых групп»

Алгебра и логика, 39, N 2 (2000), 127-133 УДК 512. 54. 0:512. 57 ГРАНИЦЫ РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НИЛЬПОТЕНТНЫХ И РАЗРЕШИМЫХ ГРУПП Ю. М. В А Ж Е Н И Н , В, Ю. ПОПОВ Обозначим через 91* и JH* многообразия fc-ступенно нильпотентных и /-ступенно разрешимых групп соответственно, а через F^U и F9fy — свободные в этих многообразиях группы счетного ранга с множеством С = {ei, ... ,€„,... } свободных порождающих. Пусть, далее, a = (•, _ 1 , l) — групповая сигнатура и 77 = tf U С. А. И. Мальцев в [1] доказал неразрешимость элементарной ??-теории группы FOTfc. В. А. Романьков [2] и Н. Н. Репин [3] установили неразреши­ мость 3-теорий сигнатуры ц группы FJH2 и, соответственно, групп F9U для любого k ^ 3. В [4] получено описание критических сг-теорий много­ образия (5 всех групп, а в [5] указаны некоторые критические сг-теории многообразий ОТ*; и Dfy. Эти резз^льтаты делают актуальным описание всех критических теорий указанных свободных групп и многообразий, т. е. опи­ сание границ разрешимости (опр. см. в [6]) B(F9Tfc), B{F%K\), B(OI^), J3(9fy). Основным результатом нашей работы является следующая Т Е О Р Е М А . ДЛЯ любых натуральных к ^ 4 u I ^ 3 границы разре­ шимости многообразий ОТ* и SHj, рассматриваемых как а-классы, опреде­ ляются равенствами В(91*) = {V3,3V-A/}, B(9t/). = {V3,V-A/}. Интересно заметить, что границы разрешимости многообразия ниль­ потентных и многообразия разрешимых групп отличаются от границы раз­ решимости многообразия всех групп, но совпадают с границами разреши­ мости ряда многообразий колец (см. [7—9]). © Сибирский фонд алгебры и логики, 2000 128 Ю. М. В&женин, В. Ю. Попов Для доказательства теоремы нам потребуется следующая лемма, представляющая самостоятельный интерес. Л Е М М А . Для любых натуральных к ^ 3 u I ^ 2 границы разреши­ мости групп F9T* и F%Ki, рассматриваемых как rj-алгебры, определяются равенствами B{FVlk) = B(FD\i) = {3,V-i}. Прежде чем приступить к доказательству теоремы, напомним необ­ ходимые определения из работ [4, 6]. Схемпо-алътерпативной иерархи­ ей языков фиксированной сигнатуры £ называется упорядоченное вклю­ чением семейство SA всевозможных множеств Ci... C n -» r A'V* и uHrA*Vs ^-формул логики первого порядка, рассматриваемых в предваренной нор­ мальной форме и определяемых равенствами { cf+lc(t)+l QiS-. . Qvy\l Л ^m{iJ)Xij\(v, GJ-VAV = (J C I . . . C „ - . P A V , где C i , . . . , C n , Q i , . . . , Q v e {V,3}, C,- / C t > b Q,- ^ Qj+i; r , * , s , m ( i , j ) 6 £ {0,1}; it;1 = w, w° — пустой символ; х = Ж1... жр,... , у = yi---Vq'i Xij — атомарная ^-формула; sgnu — знак числа и. Таким образом, язык С\ ... C n -i r А*Vе состоит из тех и только тех ^-формул у>, блочная схема кван- торной приставки которых является, возможно, пустым подсловом слова Ci... C n , а в бескванторной части <р любая из связок -i, A, V может при­ сутствовать лишь при условии, что г = 1, £ = 1, s = 1 соответственно.