Читать онлайн «Асимптотические свойства многочленов нескольких переменных»

19(il г. январь — февраль iu. XVI, вып. I (97) УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ И А У К ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ МНОГОЧЛЕНОВ И АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Е. А. Г о pun СОДКРЖАШ1Е 1! в с д е и и о 91 } 1. Предварительный замечания и примеры - ОН S 2. Формулировка и доказательство теоремы Занденбереа—Тпрг-кого 96 § 3. Теоремы об отклонении многочлена от нуля 105 S; 4. Теорема о многочленах, зависящих от параметр,), следствия 107 5 . ri. Применение к теории дифференциальных уршшпним к постоянными коэффи- коэффициентами 114 Примечания и литературные указания 117 Цитированная литература 117 Введенир Настоящая работа посвящена подробному изложению некоторых алгеб- алгебраических результатов, широко применяемых в теории дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. Речь идет прежде всего о характере асимптотического поведения многочлена или алгебраической функции от нескольких вещественных или 1;омилексных пере- переменных. Хотя такие функции изучены достаточно подробно, ряд, по сущест- существу, элементарных задач, лежащих на границе алгебры и анализа, до пос- последнего времени оставался пе решенным. Вместе с тем вопросы, связанные с асимптотическим поведением многочленов или алгебраических функций, оказываются весьма важными в приложениях. В последнее время Л. Хорман- дером для решения таких вопросов, возникающих в теории общих дифферен- дифференциальных операторов в частных производных, была использована одна общая алгебраическая теорема, так называемая теорема Зайденберга-—Тарского (здесь теорема 2. 3), являющаяся, в сущности, далеко идущим обобще- обобщением хорошо известной теоремы Штурма о числе вещественных нулей мно- многочлена с вещественными коэффициентами на случай нескольких неремен- неременных. С другой стороны, теоремой Запдепберга —Тарского решается общая проблема исключения параметров из системы полиномиальных уравнений 92 Е. А. ГОРИН и неравенств. Конечно, решение этой проблемы понимается в некотором обобщенном смысле. Как известно, классическая теория исключения зани- занимается отысканием методов, позволяющих для каждой системы алгебраи- алгебраических уравнений установить, обладает она решениями или нет. При этом под алгебраическим критерием разрешимости «мы понимаем обращение r нуль некоторой системы целых рациональных функций от козффициентов, необходимое и достаточное для разрешимости системы уравнений. Такого критерия в общем случае и не существует» ([7], ч. 2, гл. II, § 80, стр. 13—Ui). Поэтому, чтобы решить проблему исключения, следует сначала ео пра- правильно поставить. Важный шаг в этом направлении сделан Тарским и Зай- денбергом. Под критерием разрешимости эти авторы понимают выполнение хотя бы одной из конечного числа систем полиномиальных уравнений и не- неравенств, наложенных на коэффициенты данного уравнения (или системы уравнений и неравенств). Оказывается, в такой постановке проблема исклю- исключения может быть решена до конца. В настоящей работе мы изложим доказательство теоремы Зайденбер- га — Тарского, придерживаясь схемы Зайденберга [1] (причем, интересуясь в основном: дальнейшими приложениями, мы не рассматриваем других по- полей, кроме поля вещественных чисел), и укажем некоторые ее применения.