Читать онлайн «Элементарная эквивалентность решеток подалгебр свободных алгебр»

Алгебра и логики, 39, N 5 (2000), 595-601 УДК 512. 565. 7 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ Р Е Ш Е Т О К ПОДАЛГЕБР СВОБОДНЫХ АЛГЕБР*) А. Г. ПИНУС, Г. Р О У З При изучении многообразий универсальных алгебр естествен инте­ рес к изучению свойств свободных алгебр этих многообразий, в частно­ сти, к изучению тех свойств, которые выразимы в логике первого по­ рядка. Для любого многообразия V через Fy(X) обозначается У-алгебра, свободно порожденная в V множеством X. Напомним известный резуль­ тат о том, что для любого многообразия V и любых бесконечных мно­ жеств Х^У алгебры Fy(X), Fy{Y) элементарно эквивалентны. Более то­ го, если А" С У, то Fy(X) является элементарной подалгеброй алгебры Fy(Y). Достаточно показать, что для любой формулы Ф(#ь . . . , жп, у) ло­ гики первого порядка, любых а\,... , an E Fy(X) и любого b 6 Fy(Y) из Fy(Y) f= Ф(б&1,. . . ,a n ,b) следует существование V 6 Fy(X), для которо­ го Fy(Y) \= Ф ( а 1 , . . . , ariJb'). В самом деле, найдется конечное подмно­ жество Х\ С X такое, что a i , . . . , a n входят в подалгебру, порожденную множеством Х\. Пусть ц> — некоторое отображение У на себя, оставля­ ющее Х\ на месте и такое, что продолжение