Читать онлайн «Параметрический резонанс при плавной модуляции параметра»

компьютер в учрБнам процессе ^1 □□□□□ Бутиков Евгений Иванович ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС ПРИ ПЛАВНОЙ МОДУЛЯЦИИ ПАРАМЕТРА Аннотация В статье приведено физическое объяснение явления параметрического резонанса и его аналитическое исследование, подкрепленное компьютерным моделированием. Параметрическое возбуждение колебаний изучается на наглядном примере простой механической системы: торсионного линейного осциллятора, момент инерции которого плавно изменяется по заданному периодическому закону. Получены условия возбуждения и характеристики параметрического резонанса, обсуждается режим параметрической регенерации. Найдены частотные интервалы, в пределах которых возможно параметрическое возбуждение. Исследованы стационарные колебания на границах интервалов параметрической неустойчивости. Характеристики резонансов высших порядков объясняются в терминах знакомого явления частотной модуляции колебаний. Моделирующая программа и аналитическое исследование взаимно дополняют друг друга, способствуя лучшему пониманию основных принципов и особенностей параметрического резонанса. Ключевые слова: линейный осциллятор, параметрическое возбуждение, модуляция параметра, порог возбуждения, интервалы неустойчивости, параметрическая регенерация, частотная модуляция колебаний. 1. ВВЕДЕНИЕ Если детские качели вывести из состояния равновесия и дать им возможность свободно качаться подобно маятнику, их дальнейшее движение дает пример собственных колебаний, которые обычно затухают из-за трения. Незатухающие колебания можно возбудить, если периодически подталкивать качели в направлении движения. Это так называемые вынужденные колебания. Даже при небольших прилагаемых усилиях можно получить большой размах вынужденных колебаний, если подталкивать качели каждый раз при их прохождении через нижнюю точку. Это хорошо известное явление резонанса, возникающее при ритмическом внешнем воздействии на колебательную систему. В вынужденных колебаниях резонанс насту- © Е. И. Бутиков, 2009 пает при условии совпадения частоты периодического внешнего воздействия с собственной частотой системы. Но можно раскачаться на качелях и без посторонней помощи. Для этого нужно, стоя на качелях, периодически приседать и выпрямлять ноги. Здесь мы имеем дело с примером параметрических колебаний, возбуждаемых не внешним воздействием, а периодическим изменением какого-либо параметра колебательной системы. В данном случае при приседании и выпрямлении происходит периодическое изменение (модуляция) приведенной длины физического маятника, каковым являются качели с находящимся на них человеком. Размах колебаний будет нарастать, если приседать в положениях наибольшего отклонения и выпрямляться при прохождении качелей через нижнюю точку. Такое явление называется параметрическим резонансом. 37 Бутиков Е. И. В этой статье мы подробно рассмотрим особенности параметрического резонанса на примере простой механической системы - пружинного осциллятора, ротор которого может совершать крутильные колебания.