Читать онлайн «Лекции по аналитической геометрии»
Автор Троицкий Е.В.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
(конспект лекций Е. В. Троицкого,
1-й курс, математики, осенний семестр 1999/2000 уч. года)
Оглавление
1. Векторы в пространстве 2
2. Деление отрезка в данном отношении 7
3. Скалярное произведение 8
4. Площадь, объем и ориентация 9
5. Прямые на плоскости 15
5. 1. Прямая на плоскости в прямоугольных координатах 19
5. 2. Угол между прямыми на плоскости 20
6. Плоскости и прямые в пространстве 21
6. 1. Плоскости в пространстве 21
6. 2. Плоскость в прямоугольной системе координат 25
6. 3. Прямая в пространстве 26
6. 4. Некоторые формулы в прямоугольной системе координат 28
7. Замены координат 28
7. 1. Прямоугольные системы координат и ортогональные матрицы 30
7. 2. Углы Эйлера 31
8. Полярные, сферические и цилиндрические координаты 32
9. Эллипс, гипербола и парабола (ЭГП) 34
9. 1. Геометрическое определение ЭГП 34
9. 2. ЭГП как конические сечения 35
9. 3. Оптические (фокальные) свойства коник 38
9. 4. Аналитические определения коник 40
9. 5. Директориальные свойства коник 45
9. 6. Фокальный параметр. Полярные уравнения коник 46
10. Общая теория кривых второго порядка 48
10. 1. Канонические уравнения 48
10. 2. Инварианты многочлена второй степени 52
10. 3. Определение канонического уравнения по инвариантам 55
10. 4. Распадающиеся кривые 58
1
10. 5. Теоремы единственности для кривых второго порядка 59
10. 6. Теорема Паскаля. "Построение" кривой второго порядка по пяти за-
заданным точкам 61
11. Пересечение кривой второго порядка с прямой 63
11. 1.
Нахождение асимптотических направлений 65
11. 2. Диаметры и центры кривых второго порядка 67
11. 3. Сопряженные диаметры и направления 70
11. 4. Главные диаметры и оси симметрии 72
12. Вид и расположение кривых второго порядка 74
13. Касательные к кривым второго порядка 77
13. 1. Поляра точки относительно коники 79
14. Аффинные преобразования 82
14. 1. Изометрические преобразования 84
15. Аффинная и метрическая классификация квадрик 89
16. Поверхности второго порядка 91
16. 1. Основные виды поверхностей второго порядка и их геометрические
свойства 96
16. 2. Общая теория поверхностей второго порядка 104
16. 3. Аффинная и метрическая классификация поверхностей второго порядка 108
17. Элементы проективной геометрии 109
17. 1. Пополнение плоскости 109
17. 2. Связка как модель проективной плоскости 110
17. 3. Проективные преобразования 113
17. 4. Проективно-аффинные преобразования 114
17. 5. Проективная прямая 114
17. 6. Кривые второго порядка на проективной плоскости 117
1. Векторы в пространстве
Замечание 1. 1. Следуем наглядно-геометрическим представлениям, возможен
аксиоматический подход. Определение 1. 2. Закрепленный вектор — направленный отрезок, т. е. упоря-
доченная пара точек. Будем обозначать векторы An, CD,. . . Определение 1. 3. Вектор АА называется нулевым и обозначается 0^. Определение 1. 4. Длина вектора — расстояние между его концами:
\Ш\:=р{А,В). В частности, длина вектора равна нулю тогда и только тогда, когда он нулевой. Определение 1. 5. Закрепленные векторы коллинеарны, если существует прямая,
которой они параллельны.
