Читать онлайн «Стягивание действий редуктивных алгебраических групп»

1986 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК 130A72), № 3G) УДК 512 Стягивание действий редуктивных алгебраических групп Попов В. Л. Алгебраические действия редуктивных алгебраических групп на аффинных алгебраических многообразиях являются, в силу хорошо известных причин, наиболее популярными объектами исследования в современной теории инвариантов. Пусть G : X — такое действие (в этой статье основное поле k алгебраически замкнуто и char&=0). Настоящая статья, in medias res, является конкретным развитием следующего соображения. Предположим, что мы исследуем вопрос о каком-либо свойстве действия G : X. Тогда в действительности вовсе нет нужды связывать себя рассмотрением именно этого действия, а можно заменить его на другое G : У, лишь бы было априори известно, что для G : X и G : Y наш вопрос решается одинаково. Переход же от G : X к G : У дает то преимущество, что G : У может обладать дополнительными свойствами, облегчающими решение задачи. Таким образом,,речь идет о нахождении таких конструкций новых действий, которые не меняли бы каких-либо их определенных свойств. То7^то~тЖК1ге~1гапХггрукцкн существуют и действительно могут быть полезны, было впервые убедительно продемонстрировано Боро и Крафтом [1], которые ввели понятие ассоциированного конуса: рассматривается какое-нибудь замкнутое линейное эквивариантное вложение многообразия X и в качестве У берется конус, образованный всеми одномерными подпространствами, имеющими асимптотическое для X направление (ассоциированный конус определен не канонически, а зависит от вложения). Переход к асимптотическому конусу полезен, например, при исследовании G-модульной структуры алгебры k[X] регулярных функций на Ху в частности, кратностей изотипных компонент. В общем случае эти кратности не увеличиваются при переходе к У, а при некоторых дополнительных условиях — сохраняются, [1]. С помощью этих соображений в [1] была доказана гипотеза Диксмье о постоянстве кратностей орбит в пластах присоединенного GLn-модуля. Пусть в дальнейшем G связна. Переходя к универсальной накрывающей, мы можем {и будем) в дальнейшем считать, что G односвязна, т. е. является прямым произведением тора ZG и связной односвязной полупростой алгебраической группы Р. В настоящей работе любому действию G : X канонически сопоставляется некоторое весьма специальное действие G на аффинном многообразии, обозначаемое далее через gr X (происхождение такого обозначения объяснено ниже). А именно, grX имеет ту же размерность, что и X и является фактором произведения двух аффинных многообразий по действию максимального тора Т группы G. Первое из них вообще не зависит от X и является аффинной моделью алгебры k[G/U] регу- 310 Лирных функций на однородном пространстве группы U по ее максимальной унипотентной подгруппе U (оно известно среди специалистов по теории представлений под названием «основного аффинного пространства» группы G, хотя и является квазиаффинным, но не аффинным; G/U играет важную роль в теории представлений).