Читать онлайн «Лекции по дифференциальной геометрии»

Введение Традиционно считается, что дифференциальная геометрия изучает гладкие мно- многообразия в присутствии дополнительных структур --- тензорных полей, римановых метрик, расслоений, связностей, и т. п. , что она является универсальным языком, при помощи которого исследование взаимодействия этих структур сводится к ал- алгебраическим манипуляциям над функциями и их производными. Признавая спра- справедливость такого мнения, отметим, что в современной математике все сильнее ощущается как раз обратное влияние геометрии на алгебру. Принципиальное зна- значение геометрии состоит в ее использовании как наглядной модели, мотивировки при манипулировании абстрактными дифференциальными алгебраическими объек- объектами. Поясним это на примере понятия касательного вектора ? € ТтМп. Имеются три эквивалентные его определения: 1) набор чисел (?],... :?„), привязанных к определенной системе координат и меняющихся при заменах по известным правилам: 2) класс касающихся кривых, выходящих из точки х\ 3) дифференцирование, т. е. линейное отображение ?: С°°(Л^) —» К, удовлетворя- удовлетворяющее правилу . Лейбница (,{fg) = (,(f)g + f?ig)- Первое есть бюрократическая подмена существа дела инструкцией. Вообще, столь популярные в классической физике и механике неинвариантные определения, как то «набор функций T^""ja} причем(?!) при замене координат они преобразу- преобразуются. . . » способны полностью скрыть геометрическую природу явления. Они при- приводят только к путанице и громоздким обозначениям, совершенствование которых помогает лишь в ограниченных пределах. Конечно, без координатных представле- представлений полностью обойтись нельзя, однако координаты должны играть только вспо- вспомогательную роль в конкретных вычислениях. Второе определение уже инвариантно, однако оно слишком ограниченно геоме- геометрическими рамками и плохо приспособлено для нужд алгебры. Например, неяс- неясно, как складывать векторы. Определение такого типа необходимо для создания в мышлении прочного геометрического образа, связанного с понятием вектора. В этом смысле определение вектора как «стрелочки», выходящей из точки х, ничуть не уступает. Наконец, последнее определение, хотя и наименее наглядно, концептуально явля- является наиболее правильным. Оно легко приспосабливается к кольцам и модулям, очень далеким от колец гладких функций. Последовательное использование геоме- геометрических образов в современной алгебре (например, при исследовании диофанто- вых уравнений) является одним из наиболее продуктивных методов. Целью настоящего курса служит не только ознакомление с основными поняти- понятиями дифференциальной геометрии, но и обучение владению каждым из трех язы- языков инвариантно-алгебраическим, интуитивно-геометрическим и координатно- бюрократическим. В идеале все результаты (и доказательства!) дифференциальной геометрии могут быть переформулированы на каждом из этих языков. Предпола- Предполагается знакомство слушателей с основами математического анализа на многообра- многообразиях, включая алгебру дифференциальных форм и формулу Стокса.