Читать онлайн «Введение в теорию обобщенных функций»

И. |‘ААЬПБРИН Beedge/we ’l‘EO PM ю ововщвнньпх ФУНКЦИЙ _А_ ‘Т’  И. ГАЛЬЦЕРИН на ошове лекций Л. Шварца ВВЕДЕНИЕ в ТЕОРИЮ ОБОБЩЕННЫХ функций Перевод с английского м. C. A1"P AHOB ИЧА Под редакцией г. ш И л 0 в A PI*J\ ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва—1954  ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Классическое определение функции, данное в 30-х годах прошлого века Н. И. Лобачевским и П. Дирихле, кгш из- вестно, гласит: функция у=у(х) есть правило, в силу которого каждому значению величины х из области ее изме- нения однозначно сопоставляется некоторое значение вели- чины у. Это определение, оформившееся в результате крупных физических и математических открытий XVIII И начала Х1Х века, настолько естественно вытекало из на- копившегося материала и настолько успешно разрешало принципиальные затруднения, с которыми сталкивались тог- да, что оно было воспринято математиками всех направлений с полным единогласием. Все дальнейшее развитие матема- тического анализа в Х1Х веке и в начале ХХ века по су- ществу шло в направлении раскрытия возможностей, за- ключенных в этом определении. Казалось само собой разу- меющимся, что задачи математического анализа отныне сводятся к исследованию свойств различных классов функ- ций" (непрерывных, дифференцируемых, аналитических и т. п. ). Сам анализ получил второе название: теория функ- qua. И на этом пути анализ одержал крупнейшие победы: укажем хотя бы на развитие теории аналитических функций или общей теории уравнений с частными производными/п. Тем ие менее с начала ХХ века классическое опреде- леиие функции перестало казаться столь совершенным и не оставляющим желать ничего лучшего. Мы не касаемся здесь известной критики этого определения со стороны французской школы теории функций действительного пере- Менного. Важнее отметить критику— явиую или неявную— со стороны физиков. Во-первых, физиков не устраивали мно- гочисленные оговорки, которыми Математики обусловливали свои разрешения на выполнение тех или иных действий З  с функциями (к примеру: почленное дифференцирование рядов, перемена порядка интегрирования и т. п. ). Во-вто- рых (и это главное), с точки зрения потребностей физики математическое определение функции, во вс$шом случае, должно быть достаточно гибким, чтобы ДаВать-—С разум- ной степенью абстракции— адэкватное описание процессов материального Мира. Между тем имеются простейшие фи- зические явления типа мгновенного импульса, которые не укладываются в рамки классического функционального опи- сания. Введенная физиками для описания таких явлений «дельтафушция», которая «равна нулю всюду, кроме одной точки, а в этой точке равна бесконечности и при этом обладает Интегралом, равиым единице», с точки зрения классического определення функции являет вопиющее про- тиворечие. А физики успешно используют и «производные» дельта-функции! Таким образом, создалась реальная угроза утраты взаимного поиимания между математиками и физи- ками. Долгом математиков стало создание аппарата, ко- торый позволял бы описывать значительно более широкий круг физических явлений и вместе с тем давал бы возмож- ность значительно свободнее выполнять классические опе- рации анализа. Первыми работами в этом направлении были работы Н.