Читать онлайн «О W(l,q)-регулярности решений систем дифференциальных уравнений в случае, когда уравнения строятся на основе разрывных функций»

Сибирский математический журнал Июль—август, 2003. Том 44, № 4 УДК 517. 957 О Wql –РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СЛУЧАЕ, КОГДА УРАВНЕНИЯ СТРОЯТСЯ НА ОСНОВЕ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ А. П. Копылов Аннотация: Получено в определенном отношении окончательное решение пробле- мы регулярности с точки зрения теории пространств Соболева решений системы (вообще говоря) нелинейных дифференциальных уравнений с частными производ- ными в случае, когда эта система локально близка к эллиптическим системам ли- нейных уравнений с постоянными коэффициентами. Главными следствиями этого результата являются теоремы 5 и 8. Согласно первой из них старшие производные эллиптического C l -гладкого ре- шения системы l-го порядка нелинейных дифференциальных уравнений, построен- ных на основе C 1 -гладких функций, удовлетворяют локально условию Гёльдера с любым показателем α, 0 < α < 1 (по поводу доказательства см. [6]). Вторая же теорема гласит о том, что если система линейных дифференциаль- ных уравнений l-го порядка с измеримыми коэффициентами и правыми частями равномерно эллиптична, то при условии (достаточно) медленного изменения стар- ших ее коэффициентов степень локальной суммируемости частных производных l l-го порядка каждого Wq,loc -решения, q > 1, системы совпадает со степенью ло- кальной суммируемости младших коэффициентов и правых частей. Ключевые слова: системы нелинейных дифференциальных уравнений с част- ными производными, линейные равномерно эллиптические системы с разрывными коэффициентами, Wql -регулярность решений В статьях [1–3] изучались свойства решений систем нелинейных диффе- ренциальных уравнений с частными производными, которые преобразованиями типа преобразования Кордеса (см. [4]) локально приводятся к виду L(x; f (x); f 0 (x); . . . ; f (l) (x)) = V (x; f (x); f 0 (x); . . . ; f (l) (x)) + T (x; f (x); f 0 (x); . . . ; f (l−1) (x)) = 0 (1) (T (x; v 0 ; v 1 ; . . . ; v l−1 ) = L(x; v 0 ; v 1 ; . . . ; v l−1 ; 0)), где оператор V близок к эллип- тическим линейным дифференциальным операторам с постоянными коэффици- ентами. Результаты работ [1–3] легли в основу недавних исследований, позво- ливших установить, что старшие производные эллиптического C l -гладкого ре- шения системы нелинейных дифференциальных уравнений l-го порядка, кото- рые строятся с использованием C 1 -гладких функций, удовлетворяют локально Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (код проекта 02–01–01009), Международной ассоциации INTAS и государственной поддержке ведущих научных школ Российской Федерации. c 2003 Копылов А. П. 750 А.