Читать онлайн «Метод усреднения на бесконечном промежутке и задачи теории колебаний»

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова В. Ш. Бурд Метод усреднения на бесконечном промежутке и задачи теории колебаний Учебное пособие Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов специальностей Математика и Прикладная математика и информатика Ярославль 2006 УДК 517. 925 ББК В161. 61я73 Б 11 Рекомендовано Редакционно-издателъским советом университета в качестве учебного издания. План 2004 го^а Рецензенты: доктор физ. -мат. наук, кафедра Бурд, В. III. Метод усреднения на бесконечном промежутке и задачи теории колебаний: Учебное пособие / В. Ш. Бурд; Б 31 Яросл. гос. ун-т. - Ярославль: ЯрГУ, 2006. - 104 с. ISBN 5-8397-????-l Изложена теория ????? Учебное пособие по дисциплине „Дифференциальные уравнения" (блок ОПД) предназначено студентам специальностей 010100 Математика и 010200 Прикладная математика и информатика очной формы обучения. Рис. 14. Библиогр. : 32 назв. УДК 517 ББК В161 ISBN 5-8397-????-l © © Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, 2006 Бурд В. Ш. , 2006 Оглавление Предисловие 5 1 Основные понятия и теоремы 7 1. 1 Введение 7 1. 1. 1 Вспомогательные сведения из анализа 8 1. 2 Основные определения 15 1. 2. 1 Топологическая сопряженность 18 1. 2. 2 Грубые отображения 20 1. 3 Локальные бифуркации 22 1. 4 Глобальные бифуркации 31 1. 5 Производная Шварца и притягивающие циклы 38 2 Семейство квадратичных отображений 45 2. 1 Каскад бифуркаций удвоения 45 2. 2 Цикл периода 3 и число неустойчивых циклов 53 2. 3 Динамика отображения f(x) = 4х(1 — х) 58 2. 4 Динамика отображения /(х, г) = гх{\ — х) при г > 4 69 2. 4. 1 Пространство последовательностей из двух символов ... 72 2. 4. 2 Отображение сдвига в Σ2 и отображение f(x:r) при г > 2 + ^/5 75 Приложения 79 Приложение 1. Асимптотика одномерных итераций 79 Приложение 2. Совершенные нигде не плотные множества на вещественной прямой 84 Приложение 3. Гиперболические множества и отображение f(x,r) = гх{1 — х) при г > 4 88 3 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Приложение 4. Одно кусочно-линейное разрывное отображение . 93 Приложение 5. Цикл периода 3 и хаос 95 Приложение 6. Фрактальная размерность множеств 95 Приложение 7. Показатель Ляпунова 99 Литература 102 Предисловие В основу настоящего учебного пособия положен специальный курс, который читается автором студентам специальности "прикладная математика". Цель пособия - дать доступное студентам 3-4 курсов введение в круг вопросов, связанных с поведением нелинейных дискретных динамических систем, определяемых одномерными отображениями. Эта тематика в последние 25 лет вызывает огромный интерес, так как ее методы и результаты применимы к большому числу важных нелинейных задач от физики и химии до экологии и экономики. Учебное пособие состоит из 2 глав, включающих 9 параграфов, и семи приложений. В первой главе излагаются вспомогательные сведения из анализа, вводятся основные понятия - неподвижные точки, циклы.