Читать онлайн «Склейки и перестановки точек»

СКЛЕЙКИ И ПЕРЕСТАНОВКИ ТОЧЕК Ю. М. БУРМАН Для специалистов. Это — слегка расширенная запись курса из четырех лекций, прочитанных автором на V летней школе “Современная матема- тика" (Дубна, июль 2005 г. ). Основной материал лекций составили те- оремы об описании симметрических степеней вещественных и комплекс- ных многообразий малой размерности. В разбираемых примерах неявным образом появляются многие важные понятия геометрии и топологии — многообразия, расслоения, группа кос, раздутия, разложение Хегора — но мы избегали давать явные определения, чтобы не предъявлять излишних требований к подготовке слушателей. В современной геометрии (и топологии) “точкой" можно назвать все, что угодно. Например, число. Или прямую. Или пару точек. Эти точки можно собирать в “пространства" (топологические) и изучать геометрию этих про- странств. Два пространства A и B называются гомеоморфными, если между их точками можно установить взаимно однозначное непрерывное соответствие f : A → B, обратное к которому f −1 : B → A тоже непрерывно. Непрерывность соответствия f необходима, чтобы можно было говорить о том, что геометрия пространств A и B одинакова. Хорошо известно, напри- мер, что можно установить взаимно однозначное соответствие между точками прямой и точками плоскости; между тем, геометрические свойства прямой и плоскости совершенно разные. Можно, однако, показать, что непрерывного взаимно однозначного соответствия между прямой и плоскостью нет — эти пространства не гомеоморфны. Возникает вопрос, какие отображения пространства A в пространство B следует называть непрерывными. В примерах, разбору которых посвящена эта брошюра, ответ будет ясен из здравого смысла. В более сложных ситуациях, однако, необходимо формальное определение, которое дается в каждом случае (для каждого пространства) отдельно. Большинство геометрических объектов, с которыми мы будем иметь дело (окружность, двух- и трехмерная сфера, лента Мебиуса, прямые, плоскости и гиперплоскости), хорошо известны читателям из повседневного опыта. Тем не менее, некоторые гомеоморфизмы могут показаться неожиданными. Мы будем стремиться описывать все соответствия как можно более прозрачно, предпочтительно — с помощью явных формул или простых геометрических конструкций. После каждого параграфа приводятся несколько упражнений, решив которые, читатель подробнее познакомится со структурой объектов (пространств и соответствий между ними), описанных в основном тексте. 1  1. Симметрические степени кривых Декартовым произведением двух пространств A и B (обозначение A × B) называется множество пар (a; b), где a — точка пространства A, а b — точ- ка пространства B. Можно также рассматривать многократные произведе- ния A1 × A2 × · · · × An — пространства наборов (a1 ; a2 ; : : : ; an ), в которых ai ∈ Ai при всех i = 1; : : : ; n. Как и для обычного произведения, можно умножать пространство несколько раз на себя, получая декартову степень An = {(a1 ; : : : ; an ) | a1 ; : : : ; an ∈ A}.