Читать онлайн «Геометрия двумерных топологических теорий поля»

Независимый Московский Московский Центр непрерывного Университет математического образования Математический Колледж СМ. Натанзон Геометрия двумерных топологических теорий поля мцнмо МКНМУ Независимый Московский Московский Центр непрерывного Университет математического образования Математический Колледж СМ. Натанзон Геометрия двумерных топологических теорий поля МЦНМО, МК НМУ 1998 Сергей Миронович Натанзон С. М. Натанзон Геометрия двумерных топологических теорий поля. — М: МЦНМО, МКНМУ. —72 с. © С. М. Натанзон, 1998 ©МЦНМО, МК НМУ, 1998 Издательство Московского Центра непрерывного математического образования Вёрстка С. М. Львовского Лицензия ЛР №071150 от 11. 04. 95 г Подписано в печать 14. 05. 98 г. Тираж 300 экз. МЦНМО 121019, Москва, Б. Власьевскии пер. , 11. Тел. 241-05-00 Введение Эта публикация является записью курса, который автор читал в 1996 г. в Независимом Московском университете. Цель курса состоит в изложении некоторых результатов Б. А. Дубровина, касающихся полупростых фробениусовых многообразий. В этих работах Б. А. Дубровин нашел и исследовал дифференциально-геометрическую структуру, эквивалентную решениям системы WDVV. (Эта система дифференциальных уравнений описывает деформации топологических теорий поля. Она была найдена в работах E. Witten, R. Dijkgraaf, E. Verlinde, H. Verlinde. ) Структура, найденная Б. А. Дубровиным, состоит из плоской квазиоднородной метрики и согласованной с ней структуры фробеяиусовой алгебры на множестве сечений касательного расслоения. Как оказалось, структура, предложенная Б. А. Дубровиным, обладает рядом замечательных свойств и возникает в самых различных областях математики (интегрируемые системы, дискретные группы, алгебраическая геометрия, квантовые кого- мологии и др. ). Курс основан на статье Б. А. Дубровина «Geometry of 2D topological field theories» (Lect. Notes in Math. , 1620 (1996), p. 120-348), но отличается от нее порядком изложения и схемой определений. После алгебраического введения мы даем определение структуры Дубровина через «канонические координаты», то есть координаты, в которых алгебра Фробениуса имеет простейший вид (такие координаты однозначно определены структурой). Далее мы исследуем геометрические свойства этой структуры и доказываем, что она эквивалентна решению уравнений WDVV. Затем мы находим простейшие решения этих уравнений в виде структур на пространстве орбит групп отражений. Для этого исследуются связь структур со связками плоских метрик. В дополнении мы (без доказательств) показываем, как структуры Дубровина связаны с квантовыми когомологиями. Кроме статьи Б. А. Дубровина в курсе используется статья N. Hit- chin «Frobenius manifolds» (cours ail Seminaire de Mathematiques Superieures, Montreal, 1995). Дополнение основано на статьях Y. Ruan и G. Tian «A mathematical theory of quantum cohomology» (J. DifF. Ge- om. , V. 42, No 2, (1995) p. 259-367) и M. Audin «Cohomologie quantique» (Seminaire Bourbaki, 1995-96, No 806). Автор благодарит Б. А. Дубровина за многочисленные консультации.