Читать онлайн «Вейвлеты и их использование»

Май 2001 г. Том 171, № 5 УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК ОБЗОРЫ АКТУАЛЬНЫХ ПРОБЛЕМ Вейвлеты и их использование И. М. Дремин, О. В. Иванов, В. А. Нечитайло Цель этого обзора состоит в том, чтобы дать полезное пособие тем, кто собирается применять дискретное вейвлет-преобразование в практических расчетах. Введено понятие вейвлетов и кратко описано их использование в практических вычислениях и различных приложениях без строгих доказа- доказательств математических утверждений, ссылки на которые приведены в цитируемой литературе. Мно- Многомасштабный анализ и быстрое вейв лет-преобразование стали практически синонимом дискретного вейв лет-преобразования. Правильный выбор вейвлета и использование нестандартного матричного умно- умножения оказываются зачастую весьма существенными для решения поставленной задачи. Анализ различ- различных функций с помощью вейвлетов позволяет выявить фрактальные свойства, особенности функции и т. п. Вейв лет-преобразование операторных выражений помогает в решении некоторых уравнений. В практических приложениях приходится часто иметь дело с дискретными наборами чисел, и тогда возникает проблема устойчивости вейв лет-преобразования и соответствующих численных алгоритмов. После обсуждения всех этих вопросов мы переходим к практическим применениям вейвлет-анализа. Они столь многочисленны, что нам приходится ограничить себя несколькими примерами. Мы будем благо- благодарны всем за конкретные предложения, которые позволили бы приблизиться к цели, сформулированной в первой фразе аннотации. PACS numbers: 02. 60. -х, 02. 70. -с, 05. 40. -а, 87. 57. -s \ Содержание 1. Введение D65). 2. Вейвлеты для начинающих D67). 3. Основные понятия и вейвлеты Хаара D69). 4. Многомасштабный анализ и вейвлеты Добеши D72). 5. Быстрое вейвлет-преобразование и койфлеты D75). 6. Выбор вейвлета D76). 7. Многомерные вейвлеты D78). 8. Преобразование Фурье и вейвлет-преобразование D79). 9. Вейвлеты и операторы D81). 10. Нестандартное матричное умножение D82). 11. Регулярность и дифференцируемость D83). 12. Дважды микролокальный анализ D84). 13. Вейвлеты и фракталы D87). 14. Дискретизация и устойчивость D88). 15. Некоторые применения D90). 15. 1. Физика. 15. 2. Авиация (турбины). 15. 3. Медицина и биоло- биология. 15. 4. Сжатие данных. 15. 5. Фокусировка микроскопа. 16. Заключение D98). 17. Приложение D99). 17. 1. Многомасштабный анализ. 17. 2. Операторы Калдерона— Зигмунда. 17. 3. Связь с разложением Литтлвуда-Пали. Список литературы E00). 1. Введение Вейвлеты стали необходимым математическим инстру- инструментом во многих исследованиях. Их используют в тех случаях, когда результат анализа некоего сигналах должен содержать не только простое перечисление его характерных частот (масштабов), но и сведения об определенных локальных координатах, при которых эти частоты проявляют себя. Таким образом, анализ и обработка нестационарных (во времени) или неоднород- неоднородных (в пространстве) сигналов разных типов предста- представляют собой основное поле применений вейвлет-ана- вейвлет-анализа.