Читать онлайн «Лекции по элементам топологии: Учебно-методическое пособие для студентов физико-математического факультета»

ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И. А. БУНИНА Н. Г. ПОДАЕВА, С. В. ЕВСИКОВ ЛЕКЦИИ ПО ЭЛЕМЕНТАМ ТОПОЛОГИИ Учебно-методическое пособие для студентов физико-математического факультета ЕЛЕЦ-2003  УДК. 517. 11 П Печатается по решению Ученого Совета Елецкого государственного уни- верситета им. И. А. Бунина Подаев Н. Г. , Евсиков С. В. Лекции по элементам топологии –Елец. : ЕГУ, 2003. – 42с. Цель пособия – обеспечить формирование представлений об основных видах топологических пространств, привить общую топологическую культу- ру, необходимую будущему учителю для глубокого понимания как основно- го курса геометрии, так и углубленного. Рецензенты: д. п. н. , профессор В. Е. Медведев (ЕГУ), К. ф. -м. н. , доцент В. Е. Щербатых (ЕГУ) ©Подаева Н. Г. © Елецкий государственный универси- тет им. И. А. Бунина (ЕГУ), 2003. 2  ВВЕДЕНИЕ Цель этого пособия – обеспечить формирование представлений об ос- новных видах топологических пространств, привитие общей топологической культуры, необходимой будущему учителю для глубокого понимания как ос- новного школьного курса геометрии, так и углубленного. В основу общего изучения элементов топологии мы положили понятие открытого множества. Вначале мы определим топологическое пространство и будем изучать его «геометрию» исходя из аксиом. После того, как введены гомеоморфизмы, мы будем изучать важнейшие топологические свойства пространств и мно- жеств (связность, компактность и т. п. ). В заключение рассмотрим классифи- кацию связных компактных двумерных многообразий, к которым относятся такие интересные объекты, как лист Мебиуса, бутылка Клейна, проективная плоскость и сферы с ручками и пленками. В соответствии с «групповым подходом» Ф. Клейна предметом тополо- гии являются топологические свойства – свойства фигур, которые не изме- няются при деформациях без «разрезаний и склеек». В результате таких не- прерывных деформаций (гомеоморфизмов) из резинового тора можно полу- чить кофейную чашку. Известный популяризатор науки М. Гарднер сказал по этому поводу, что топологами принято называть математиков, которые не могут отличить кофейную чашку от бублика. 3  §1. Топологические пространства Напомним, что n-арным отношением, определенным на непустом мно- жестве Е, называется всякое подмножество δ ⊂ Еn (En = 1 E ×4 4 × ... E2 4×4 E - 3 n раз n-ая декартова степень множества Е). Элементы х1 , х 2 ,... , х n ∈ Е находятся в отношении δ ⊂ Е n , если кор- теж ( х1 , х 2 ,... , х n ) ∈ δ . Если n = 2 , то δ - бинарное отношение; n = 1 - унарное отношение (т. е.