Читать онлайн «Теория вероятностей»
Автор Е. А. Морозова
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Теория вероятностей
Индивидуальные задания
Пособие разработано доцентом Цыловой Е. Г. , ассистентом Морозовой Е. А. .
Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика»
© 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ
Пермь 2007
Разбор типовых задач
Задача 1. В партии из 10 деталей две бракованные. Найти вероятность того, что среди выбранных на удачу четырех деталей окажется одна бракованная.
Решение: Пространство элементарных исходов представляет собой в этом случае множество всевозможных упорядоченных наборов из четырех любых деталей. Общее число таких элементарных исходов равно EMBED Equation. DSMT4 . Пусть событие А состоит в том, что в выборку попадут три годных детали и одна бракованная. Три годные детали из восьми можно взять EMBED Equation. DSMT4 способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно EMBED Equation. DSMT4 . Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов EMBED Equation. DSMT4 .
Задача 2. В квадрат с вершинами (0;0), (0;1), (1;0), (1;1) наудачу брошена точка EMBED Equation. DSMT4 . Пусть EMBED Equation. DSMT4 и EMBED Equation. DSMT4 – координаты этой точки. Найти вероятность того, что сумма координат этой точки не превзойдет 0,5.
Решение: В прямоугольной системе координат область EMBED Equation. DSMT4 – квадрат со стороной 1, а область EMBED Equation. DSMT4 – определяется неравенством EMBED Equation. DSMT4 .
Область EMBED Equation. DSMT4 – квадрат, поэтому мера EMBED Equation. DSMT4 равна 1. Область EMBED Equation. DSMT4 – прямоугольный треугольник, катеты которого равны по 0,5. Таким образом, EMBED Equation. DSMT4 .
Задача 3. По каналу связи передаются три сообщения, каждое из которых может быть передано правильно или частично искажено. Вероятность того, что сообщение передано правильно – 0,8. Считая, что сообщение искажается или передается правильно не зависит от количества передач и от результата предыдущей связи найти вероятности следующих событий:
EMBED Equation. DSMT4 { все три сообщения переданы верно}
EMBED Equation. DSMT4 { одно из трех сообщений искажено}
EMBED Equation. DSMT4 { хотя бы одно из трех сообщений искажено}
Решение: Обозначим через EMBED Equation. DSMT4 событие, состоящее в том, что EMBED Equation. DSMT4 -ое сообщение передано верно. Событие EMBED Equation. DSMT4 . Применяя теорему умножения для независимых событий и учитывая, что EMBED Equation. DSMT4 , вычислим EMBED Equation. DSMT4 .
Событие EMBED Equation. DSMT4 можно выразить через события EMBED Equation. DSMT4 , EMBED Equation. DSMT4 и EMBED Equation. DSMT4 следующим образом: EMBED Equation. DSMT4 . Применяя теорему сложения несовместных событий и теорему умножения, найдем вероятность этого события: EMBED Equation. DSMT4
EMBED Equation. DSMT4 EMBED Equation. DSMT4 .
Событие EMBED Equation. DSMT4 .
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Теория вероятностей
Индивидуальные задания
Пособие разработано доцентом Цыловой Е. Г. , ассистентом Морозовой Е. А. .
Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика»
© 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ
Пермь 2007
Разбор типовых задач
Задача 1. В партии из 10 деталей две бракованные. Найти вероятность того, что среди выбранных на удачу четырех деталей окажется одна бракованная.
Решение: Пространство элементарных исходов представляет собой в этом случае множество всевозможных упорядоченных наборов из четырех любых деталей. Общее число таких элементарных исходов равно EMBED Equation. DSMT4 . Пусть событие А состоит в том, что в выборку попадут три годных детали и одна бракованная. Три годные детали из восьми можно взять EMBED Equation. DSMT4 способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно EMBED Equation. DSMT4 . Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов EMBED Equation. DSMT4 .
Задача 2. В квадрат с вершинами (0;0), (0;1), (1;0), (1;1) наудачу брошена точка EMBED Equation. DSMT4 . Пусть EMBED Equation. DSMT4 и EMBED Equation. DSMT4 – координаты этой точки. Найти вероятность того, что сумма координат этой точки не превзойдет 0,5.
Решение: В прямоугольной системе координат область EMBED Equation. DSMT4 – квадрат со стороной 1, а область EMBED Equation. DSMT4 – определяется неравенством EMBED Equation. DSMT4 .
Область EMBED Equation. DSMT4 – квадрат, поэтому мера EMBED Equation. DSMT4 равна 1. Область EMBED Equation. DSMT4 – прямоугольный треугольник, катеты которого равны по 0,5. Таким образом, EMBED Equation. DSMT4 .
Задача 3. По каналу связи передаются три сообщения, каждое из которых может быть передано правильно или частично искажено. Вероятность того, что сообщение передано правильно – 0,8. Считая, что сообщение искажается или передается правильно не зависит от количества передач и от результата предыдущей связи найти вероятности следующих событий:
EMBED Equation. DSMT4 { все три сообщения переданы верно}
EMBED Equation. DSMT4 { одно из трех сообщений искажено}
EMBED Equation. DSMT4 { хотя бы одно из трех сообщений искажено}
Решение: Обозначим через EMBED Equation. DSMT4 событие, состоящее в том, что EMBED Equation. DSMT4 -ое сообщение передано верно. Событие EMBED Equation. DSMT4 . Применяя теорему умножения для независимых событий и учитывая, что EMBED Equation. DSMT4 , вычислим EMBED Equation. DSMT4 .
Событие EMBED Equation. DSMT4 можно выразить через события EMBED Equation. DSMT4 , EMBED Equation. DSMT4 и EMBED Equation. DSMT4 следующим образом: EMBED Equation. DSMT4 . Применяя теорему сложения несовместных событий и теорему умножения, найдем вероятность этого события: EMBED Equation. DSMT4
EMBED Equation. DSMT4 EMBED Equation. DSMT4 .
Событие EMBED Equation. DSMT4 .
