Читать онлайн «Лекции по дифференциальным уравнениям (1 семестр)»

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет И. H. Сергеев Лекции по дифференциальным уравнениям I семестр Москва 2004 Сергеев И. H. Лекции по дифференциальным уравнениям. I семестр. — M. : Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 96 с. Представлен конспект лекций по обыкновенным дифференциаль- ным уравнениям, читавшихся автором в осеннем семестре второго кур- са механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносо- ва и связанных с геометрической интерпретацией дифференциального уравнения, с вопросами существования, единственности и продолжае- мости решений, с теорией линейных уравнений и систем, в том числе и с постоянными коэффициентами. Даны точные определения, подробно доказаны сформулированные утверждения, теоретически обоснованы наиболее важные методы ре- шения задач. Приведены все необходимые теоретические сведения, со- путствующие понятия и факты из смежных разделов математики. Предложены задачи для самостоятельного решения, развивающие и углубляющие прочитанный материал и, тем самым, позволяющие луч- ше подготовиться к экзамену. Для студентов и аспирантов, изучающих классическую теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. Механико-математический c факультет МГУ, 2004 г. Содержание 1 Обыкновенное дифференциальное уравнение . . . . 5 2 Некоторые соглашения и обозначения . . . . . . . . 5 1 Поля направлений на плоскости 6 1. 1 Поле направлений уравнения первого порядка . . . 6 1. 2 Уравнение первообразной . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. 3 Обобщение понятия интегральной кривой . . . . . . 9 1. 4 Уравнение в дифференциалах . . . . . . . . . . . . . 10 1. 5 Расширение уравнения первообразной . . . . . . . . 12 1. 6 Автономное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1. 7 Уравнение в полных дифференциалах . . . . . . . . 16 1. 8 Уравнение с разделяющимися переменными . . . . 18 1. 9 Вопросы и задачи для самостоятельного решения . 18 2 Существование, единственность и продолжаемость решений 20 2. 1 Задача Коши для нормальной системы . . . . . . . 20 2. 2 Формулировка локальной теоремы существования и единственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2. 3 Сведе́ние задачи Коши к интегральному уравнению 24 2. 4 Операторная норма, оценка конечных приращений 24 2. 5 Принцип сжимающих отображений, равномерная метрика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2. 6 Доказательство теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2. 7 Варианты формулировок локальной теоремы . . . . 29 2. 8 Теорема единственности в целом . . . . . . . . . . . 30 2. 9 Непродолжаемые решения . . . . . . . . . . . . . . . 31 2. 10 Теорема продолжаемости . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2. 11 Лемма Гронуолла — Беллмана . . . . . . . . . . . . 35 2. 12 Теорема продолжаемости для линейной системы . . 36 2. 13 Ломаная Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2. 14 Теорема Арцела — Асколи . . . . . . . . . . . . . . . 38 2. 15 Теорема Пеано . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2. 16 Сведе́ние уравнения произвольного порядка к нор- мальной системе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2. 17 Теоремы существования, единственности и продол- жаемости для уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3  2. 18 Теорема продолжаемости для линейного уравнения 45 2. 19 Вопросы и задачи для самостоятельного решения . 46 3 Общая теория линейных уравнений и систем 49 3. 1 Линейное пространство функций . . . . . . . . . . . 49 3. 2 Общее решение линейной однородной системы . . . 49 3. 3 Определитель Вронского вектор-функций . . . . . . 51 3. 4 Фундаментальная матрица . . . . . . . . . . . . . . . 52 3. 5 Оператор Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3. 6 Формула Лиувилля — Остроградского . . . . . . . . 55 3. 7 Общее решение линейной неоднородной системы . . 57 3. 8 Метод вариации постоянных для системы . . . . . . 58 3. 9 Общее решение линейного уравнения . . . . . . . . . 59 3. 10 Определитель Вронского скалярных функций . . . 62 3. 11 Восстановление линейного уравнения по фундамен- тальной системе его решений . . . . . . . . . . . . . 63 3. 12 Метод вариации постоянных для уравнения . . . . . 64 3. 13 Нули решений уравнения второго порядка . . . . . 65 3. 14 Теорема Штурма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3. 15 Оценки колеблемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3. 16 Краевая задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3. 17 Вопросы и задачи для самостоятельного решения . 72 4 Линейные уравнения и системы с постоянными ко- эффициентами 75 4. 1 Экспонента оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4. 2 Связь экспоненты с линейной однородной системой 75 4. 3 Комплексификация линейного оператора . . . . . . 76 4. 4 Комплексификация линейной системы . . . . . . . . 78 4. 5 Жорданова форма матрицы . . . . . . . . . . . . . . 79 4. 6 Вычисление экспоненты матрицы . . . . . . . . . . . 80 4. 7 Решение системы с помощью жордановой формы . 82 4. 8 Квазимногочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4. 9 Метод неопределенных коэффициентов . . . . . . . 85 4. 10 Линейное уравнение с постоянными коэффициентами 86 4. 11 Характеристический многочлен линейного уравнения 88 4. 12 Уравнение с квазимногочленом в правой части . . . 90 4. 13 Вопросы и задачи для самостоятельного решения . 93 4 1.