Читать онлайн «Дифференцируемость отображений в геометрии многообразий Карно»

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2007. Том 48, № 2 УДК 514. 763. 22+517. 518. 15+514. 752. 8 ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЙ В ГЕОМЕТРИИ МНОГООБРАЗИЙ КАРНО C. K. Водопьянов Аннотация: Исследована дифференцируемость отображений в геометрии прост- ранств Карно — Каратеодори в условиях минимальной гладкости векторных полей. Введено новое понятие hc-дифференцируемости и доказаны hc-дифференцируе- мость липшицевых отображений пространств Карно — Каратеодори (обобщение теоремы Радемахера) и обобщение теоремы Степанова. Для их доказательства установлена hc-дифференцируемость спрямляемых кривых. Кроме того, дано но- вое доказательство функториального характера соответствия «локальный базис 7→ нильпотентный касательный конус». В качестве следствия получена hc-диффе- ренцируемость почти всюду квазиконформных отображений пространств Карно — Каратеодори. Ключевые слова: Пространствo Карно — Каратеодори, субриманова геометрия, нильпотентный касательный конус, дифференцируемость кривых и липшицевых отображений. Работа посвящена проблеме дифференцируемости отображений прост- ранств Карно — Каратеодори (далее просто многообразий Карно). Многооб- разие Карно M (см. , например, [1–6]) определяется как связное риманово мно- гообразие, в касательном расслоении T M которого выделено горизонтальное подрасслоение HM ⊂ T M, удовлетворяющее некоторым алгебраическим усло- виям на коммутаторы векторных полей {X1 , . . . , Xn }, образующих локальный базис в HM, n = dim Hg M для всех g ∈ M. Расстояние dc (внутренняя мет- рика Карно — Каратеодори) между точками x, y ∈ M определяется как точная нижняя грань длин горизонтальных кривых, соединяющих точки x, y, и яв- ляется неримановым, если HM — собственное подрасслоение (кусочно-гладкая кривая γ называется горизонтальной, если γ̇(t) ∈ Hγ(t) M). Известно (см. [1–6]), что локальная геометрия многообразия Карно в точке g ∈ M моделируется градуированной нильпотентной группой Ли Gg M: каса- тельное пространство Tg M имеет дополнительную структуру градуированной нильпотентной группы Ли. Нам удобно рассматривать в некоторой окрест- ности точки g ∈ M две метрические структуры: одна наследуется из дан- ного метрического пространства (M, dc ), а другая — из окрестности едини- цы локального нильпотентного касательного конуса (G g , dgc ) (см. определе- ние 1. 2). Ниже объясняется, что exp−1 : G g → Gg M будет изометрическим изоморфизмом локальных лиевых структур. В новых терминах определение Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (грант 05–01–00482), Совета по грантам Президента Российской Федерации для поддержки молодых российский ученых и ведущих научных школ Российской Федерации (грант НШ–8526. 2006. 1). c 2007 Водопьянов C. K. 252 C. K. Водопьянов hc-дифференцируемости принимает следующий вид.