Читать онлайн «К теории соболевских классов функций со значениями в метрическом пространстве»

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2006. Том 47, № 1 УДК 517. 54 К ТЕОРИИ СОБОЛЕВСКИХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ю. Г. Решетняк Аннотация: Изучаются классы функций, принимающих значения в полном мет- рическом пространстве, которые могут считаться аналогом соболевских классов Wp1 . Ранее автором рассматривался случай функций, определенных в области простран- ства Rn . Здесь исследуется общий случай отображений, определенных на про- извольном липшицевом многообразии. Приводятся необходимые вспомогательные сведения, рассматриваются некоторые примеры и описываются способы построения полунепрерывных снизу функционалов на классах Wp1 (M ), где M — липшицево многообразие. Ключевые слова: соболевские пространства, липшицевы многообразия, функци- оналы вариационного исчисления, римановы пространства класса Lip, полунепре- рывность функционалов. Статья является продолжением работ автора [1, 2]. Далее X — сепарабельное полное метрическое пространство. Мы будем на- лагать на X также некоторые другие условия. Пусть Š — область, т. е. связное открытое множество в n-мерном евклидовом пространстве Rn . Согласно опре- делению, данному в [1], отображение u : Š → X принадлежит классу Wp1 (Š, X), если для всякой точки z ∈ X функция [u]z : x ∈ Š 7→ d[u(x), z], где d(y, z) — расстояние в X, принадлежит классу Wp1 (Š, R), причем существует функция w ∈ Lp (Š) такая, что при любом z ∈ X для почти всех x ∈ Š выполняется неравенство |∇[u]z (x)| ≤ w(x). 1 В [1] рассматриваются только классы Wp,loc (Š), p ≥ 1. Ранее аналогичный подход был предложен Амбросио в работе [3] для определения классов BV отоб- ражений ограниченной вариации. В работе Кореваара и Шоэна [4] дан другой 1,p способ введения классов Wloc (Š), основанный на рассмотрении интеграла от разностного отношения. Как показано в работе автора [2], определение из ра- боты [1] равносильно определению, данному в работе [4]. Цель настоящего сообщения — показать, каким образом подход к опреде- 1 лению классов Wp,loc , предложенный в работе [1], может быть распространен на случай, когда область определения отображения — некоторое липшицево многообразие. Вопрос о построении классов функций, аналогичных соболевским клас- сам Wp1 , для случая, когда область определения функции — метрическое про- странство, наделенное мерой, удовлетворяющей определенным условиям, а об- ласть значений функции — числовая прямая, рассматривался многими автора- ми. В связи с этим отметим работы Хайлаша [5], Бироли и Моско [6], В. М. Гольд- штейна и М. Троянова [7] и работы А. С. Романова [8, 9]. c 2006 Решетняк Ю. Г. К теории соболевских классов функций 147 1.