Читать онлайн «Интегральные представления и преобразования N-функций. I»

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2006. Том 47, № 1 УДК 517. 44+517. 5 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ N–ФУНКЦИЙ. I А. Е. Мамонтов Аннотация: Ранее автором был предложен новый подход к экстраполяции опера- торов со шкалы пространств Лебега в лежащие за пределами этой шкалы простран- ства Орлича. В работе, состоящей из двух частей, разработан математический ап- парат, позволяющий доказывать описанные экстраполяционные теоремы для про- извольного поведения оператора в шкале Лебега (т. е. произвольной его нормы как функции от p), а также для случая, когда базовой шкалой является отрезок шкалы Лебега с показателями, отделенными от 1 или +∞. При этом возникают некорректные задачи об обращении классических интегральных преобразований типа Меллина и Лапласа на неаналитических функциях в терминах их асимптоти- ки на вещественной оси, а также вопрос о свойствах интегральных преобразований типа свертки на классах N-функций. В части I статьи изучаются интегральные представления N-функций разложениями по степенным функциям с положитель- ным весом, а также поведение на классах N-функций интегральных преобразований типа свертки. Ключевые слова: экстраполяция операторов, пространства Орлича, N-функции, функции Юнга, интегральные преобразования Меллина и Лапласа, интегральные преобразования типа свертки. Введение Теория N-функций (функций Юнга) и порождаемых ими пространств Ор- лича, впервые систематически изложенная в классической монографии [1], ак- тивно разрабатывается в течение уже более полувека и нашла одно из первых своих приложений в области интегральных уравнений с нестепенными нели- нейностями. С тех пор эта теория получила свое дальнейшее развитие и много интересных новых приложений. При этом оказалось, что часть вопросов теории пространств Орлича и Соболева — Орлича может быть решена путем обобще- ния свойств пространств Lp и Wpl , а в других случаях прямое обобщение затруд- нительно или невозможно в силу специфики соответствующих пространств Ор- лича. Например, такой важный вопрос, как оценки решений дифференциаль- ных уравнений в пространствах Орлича, может решаться интерполяционными или экстраполяционными методами на основе известных оценок в Lp . Однако с достаточной полнотой такие методы развиты лишь для случая пространств, «зажатых» между Lp1 и Lp2 с 1 < p1 < p2 < +∞ (см. , например, [2]). Для случаев, когда интересующие нас пространства Орлича Lˆ лежат за пределами базовой шкалы Lp (например, ˆ(s) = s lnγ s, ˆ(s) = exp(sγ ) или ˆ(s) = sp0 lnγ s, Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда содействия отечественной науке, Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 05–01–00131) и программы ФАО РФ «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 8247). c 2006 Мамонтов А. Е. 124 А.