Читать онлайн «Методические указания к решению задач олимпиады по сопротивлению материалов»

Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана А. А. Горбатовский, А. И. Котов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ОЛИМПИАДЫ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ Под редакцией В. И. Цветкова Москва Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана 2010 УДК 539. 3/. 8 ББК 30. 121 Г67 Р е ц е н з е н т Г. Я. Пановко Горбатовский А. А. Г67 Методические указания к решению задач олимпиады по сопротивлению материалов / А. А. Горбатовский, А. И. Котов ; под ред. В. И. Цветкова. — М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баума- на, 2010. — 27, [1] с. : ил. В методических указаниях рассмотрены решения задач, предло- женных участникам отборочного тура Всероссийской олимпиады по сопротивлению материалов, прошедшей в МГТУ им. Н. Э. Баумана в марте 2009 г. Для студентов машиностроительных специальностей высших учебных заведений. УДК 539. 3/. 8 ББК 30. 121 © МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2010 2  Задача 1. Угол поворота сечения B балки OB (рис. 1) ограничен Ml EI величиной ϑBK = . Коэффициент жесткости пружины Z = 3 x . EI x l Определить потенциальную энергию U деформации системы. Дано: l , I x , E , M . Рис. 1 Решение. Вычислим угол поворота сечения B при отсутствии M ограничителя. При сжатии пружины силой (которую можно l найти из уравнения равновесия балки ∑ M B = 0) осадка пружины M составит OO1 = . Таким образом, угол поворота ϑBZ сечения B, lZ соответствующий деформации пружины, будет равен OO1 M Ml ϑBZ = = 2 = . l l Z EI x 3  Рис. 2 Полный угол поворота сечения B в этом случае ϑ = ϑBZ + ϑBF , где ϑBF — угол поворота вследствие изгибной деформации балки (рис. 2). Значение угла ϑBF определяется перемножением эпюр по Мору — Верещагину (рис. 3): 1 ⎛1 ⎞ 2 1 Ml ϑBF = ⎜ lM ⎟ = . EI x ⎝ 2 ⎠ 3 3 EI x Следовательно, Ml 1 Ml 4 Ml ϑB = ϑBZ + ϑBF = + = , EI x 3 EI x 3 EI x что превышает допустимое значение угла ϑBK . Приходим к выводу, что в процессе нагружения балки изги- Ml бающим моментом сечение B повернется лишь на угол ϑBK = , EI x который соответствует части M ∗ внешнего момента М, найденной из соотношения 4 M ∗l Ml 3 ϑB = ϑBZ + ϑBF = = → M∗ = M. 3 EI x EI x 4 4  Рис. 3 Дальнейшее увеличение внешнего момента будет восприни- маться абсолютно жесткими упорами в сечении B.