Читать онлайн «Локальная устойчивость отображений с ограниченным искажением на группах Гейзенберга»

Сибирский математический журнал Ноябрь—декабрь, 2007. Том 48, № 6 УДК 517. 54 ЛОКАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЙ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИСКАЖЕНИЕМ НА ГРУППАХ ГЕЙЗЕНБЕРГА Д. В. Исангулова Аннотация. Предлагаемая работа является второй в цикле работ автора, посвя- щенном устойчивости в теореме Лиувилля на группе Гейзенберга. Предполагается доказать, что всякое отображение с ограниченным искажением на области Джона группы √ Гейзенберга приближается конформным отображением с порядком близо- сти K − 1 в равномерной норме и с порядком близости K − 1 в норме Соболева C L1p для всех p < K−1 . В настоящей работе доказывается локальный вариант сформулированного ре- зультата: всякое отображение с ограниченным искажением с коэффициентом ис- кажения K, близким к 1, определенное на шаре, приближается √ конформным отоб- ражением на меньшем шаре с порядком близости K − 1 в равномерной норме и C с порядком близости K − 1 в норме Соболева L1p для всех p < K−1 . Построен пример, показывающий асимптотическую точность порядка близости отображения с ограниченным искажением к конформному в норме Соболева. Ключевые слова: группа Гейзенберга, отображение с ограниченным искажением, коэрцитивная оценка, устойчивость. § 1. Введение Классическая теорема Лиувилля говорит о том, что всякое конформное отображение евклидова пространства Rn , n ≥ 3, есть сужение некоторого мё- биусова преобразования всего пространства, т. е. сужение композиции конечно- го числа преобразований инверсии относительно сферы. Напомним, что отоб- ражение f некоторой области n-мерного евклидова пространства конформно, если оно переводит всякую бесконечно малую сферу в бесконечно малую сфе- ру. Квазиконформный гомеоморфизм характеризуется тем, что образ всякого бесконечно малого шара является эллипсоидом, у которого отношение наиболь- шей полуоси к наименьшей не превосходит некоторой постоянной K ≥ 1. Если мы откажемся от условия гомеоморфности, то при некоторых топологических предположениях получаем отображение с ограниченным искажением. В случае K = 1 отображение конформно. Задача об устойчивости в теореме Лиувилля о конформных отображениях состоит в том, чтобы 1) показать, что при K, близком к единице, отображение с K-ограниченным искажением приближается мёбиусовым, Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (грант 06–01–00735), Совета по грантам Президента Российской Федерации для поддержки молодых российский ученых и ведущих научных школ Российской Федерации (грант НШ 8526. 2006. 1) и фонда ИНТАС (грант YSF 03–55–905). c 2007 Исангулова Д. В. Локальная устойчивость отображений с ограниченным искажением 1229 2) оценить порядок отклонения отображения от мёбиусова в зависимости от величины K − 1.