Читать онлайн «Квазивыпуклые функции и нуль-лагранжианы в проблемах устойчивости классов отображений»

Сибирский математический журнал Июль—август, 2008. Том 49, № 4 УДК 517. 957:517. 548 КВАЗИВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ И НУЛЬ–ЛАГРАНЖИАНЫ В ПРОБЛЕМАХ УСТОЙЧИВОСТИ КЛАССОВ ОТОБРАЖЕНИЙ А. А. Егоров Аннотация. Получены теоремы устойчивости для классов решений дифферен- циальных уравнений, построенных с помощью квазивыпуклых функций и нуль- лагранжианов. Ключевые слова: квазивыпуклая функция, нуль-лагранжиан, устойчивость клас- сов отображений. Первые результаты по устойчивости классов плоских и пространственных конформных отображений получены М. А. Лаврентьевым при исследовании квазиконформных отображений [1, 2]. Теория устойчивости конформных отоб- ражений, возникшая в рамках теории квазиконформных отображений, в даль- нейшем развивалась главным образом усилиями самого М. А. Лаврентьева, а также П. П. Белинского и Ю. Г. Решетняка (см. , например, монографии [3–8] и библиографию в них). Одним из основных результатов этой теории является следующее утверждение (см. , например, [3, 5–8]): для шара B(x, r) ⊂ Rn , n ≥ 2, каждое K-квазиконформное отображение v : B(x, r) → Rn с коэффициентом K, близким к 1, имеет малое отклонение в C-норме от конформных отображений на каждом подшаре B(x, ρr), 0 < ρ < 1, при этом отклонение стремится к нулю при K → 1. В силу использования свойства устойчивости конформных отображений при получении важных теорем как в самой теории квазиконформных отоб- ражений, так и в ее приложениях возник интерес к поиску других классов отображений, обладающих свойствами устойчивости. Отталкиваясь от теории устойчивости конформных отображений, А. П. Копылов в статье [9] (см. также монографию [7]) предложил общую концепцию устойчивости в C-норме классов отображений, названную им концепцией ξ-устойчивости. Эта концепция регу- лярным образом согласована с теорией устойчивости конформных отображе- ний (см. [7, 9]). Действительно, сформулированный выше результат равносилен теореме о ξ-устойчивости класса конформных отображений в классе квазикон- формных отображений (см. [7, гл. 1, § 1. 3]). В рамках концепции ξ-устойчивости получены теоремы об устойчивости классов многомерных голоморфных отоб- ражений, классов решений эллиптических систем линейных уравнений в част- ных производных, классов гомотетий и ряда других классов отображений (см. , Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований, Совета по грантам Президента Российской Федерации для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ, Междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН 2006 г. № 117 и Фонда содействия отечественной науке. c 2008 Егоров А. А. Квазивыпуклые функции и нуль-лагранжианы 797 например, работы А. П. Копылова [7, 9, 10], Н. С. Даирбекова [11, 12], Т. В. Со- коловой [13, 14] и библиографию в них). Развивая теорию ξ-устойчивости, в этой статье, как и в [15], мы исследуем устойчивость классов решений нелинейных дифференциальных уравнений F (u0 (x)) = G(u0 (x)), (1) строящихся с помощью квазивыпуклых функций F и нуль-лагранжианов G.